Начертательная геометрия задачи с решением и примерами

Здравствуйте на этой странице я собрала примеры решения задач по предмету начертательная геометрия с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия служит теоретической основой построения технических чертежей в виде графических моделей конкретных объектов машиностроения. Инженерная графика вырабатывает у студентов умение и навыки понимания по чертежу конструкции изделия и принципа действия изображенного технического объекта.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Начертательная геометрия включена в число обязательных дисциплин ведущих технических вузов мира. И связано это, прежде всего, с тем, что она как никакая другая дисциплина развивает логическое конструктивно-геометрическое мышление, пространственное представление и воображение, а также способность к анализу и синтезу пространственных форм.

Задача начертательной геометрии – изучение визуально-образного геометрического языка и технологии его реализации. Она является уникальным техническим языком, информативность которого настолько велика, что заменить его другим практически невозможно. Роль ее в подготовке специалистов и решении прикладных задач возрастает в связи с необходимостью повышения эффективности труда конструктора.

Проецирование геометрических фигур. Параллельное проецирование

Любую геометрическую фигуру рассматривают как множество всех при надлежащих ей точек. Чтобы получить параллельную проекцию фигуры на плоскости (плоскости проекций), необходимо через каждую точку фигуры пронести проецирующие лучи параллельно заранее вы бранному направлению до пересечения с (рис. 1).

Основные свойства параллельного проецирования.

1. Проекция точки есть точка.
2. Проекции прямой есть прямая или точка ( — точка).
3. 
4. 
5. 
6. 

Самоконтроль I. На рис. 2 показано проецирование и на плоскость но направлению . Какой из треугольников расположен в плоскости, параллельной ?

1 a . Треугольник (с. 55).

2 б. Треугольник (с. 56).

Таким образом, Вы отметили еще два свойства параллельного проецировання:

1. Если фигура расположена в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину,
2. Фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в отрезок прямой, совпадающей с проекцией плоскости (проецирующая прямая вырождается в точку).

Если направление проецирования , получают ортогональные (прямоугольные) параллельные проекции, которыми чаще всею пользуются на практике.

Проекции точки

Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций.

Одна проекций точки не определяет положение точки в пространстве. Для получения обратимого чертежа ортогональное проецирование осуществляется на две (и более) перпендикулярные плоскости проекций (рис. 3)t которые затем совмещают в одну (метод Монжа). Получается плоское изображение, которое является носителем двух плоскостей. Это изображение называют эпюром или комплексным чертежом.

— горизонтальная плоскость проекций, — фронтальная плоскость проекций, — ось проекций.

На эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки связаны вертикальной линией связи, т.е

Положение точки в пространстве определяется ее расстоянием до плоскостей проекций. При этом покрывает расстояние до — показывает расстояние до .

Самоконтроль 2. Какая из заданных точек (рис. 4) принадлежит плоскости ?

2а. Точка (с. 55) 26. Точка (с. 56).

Характерным признаком эпюра точки, принадлежащей плоскости проекций, является то, что одна проекция точки принадлежит оси проекции.

На рис. 5 показано получение трех картинного чертежа точки .

— профильная плоскость проекций.

Является очевидным, что .

Определитель точки в пространстве — три координаты точки, т.е. расстояние от точки до трех координатных плоскостей Принимается, что плоскости проекций совмещены с координатными плоскостями.

Условная запись определителя точки: . Положение проекции точки определяют две координаты: Определителем точки на эпюре является совокупность двух проекций точки: . Координаты точки устанавливаются измерением (рис. 6).

Пример задачи №1.

Построить три проекции точки .

Решение:

1. Координатные плоскости принимаем за плоскости проекций и строим на чертеже оси проекций (рис. 7), отмстив на них масштабные единицы.
2. Последовательно откладываем на соответствующих осях заданные значения
3. Из полученных точек проводим прямые, параллельные соотвстствуюхцнм осям, и получаем проекции (см. рис. 7).

Проекции прямой

Определитель прямой: две точки. Условная запись: . На чертеже прямую определяют двумя проекциями (рис. 8). или .

Условие принадлежности точки прямой: точка принадлежа прямой, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, (см. точку на прямой — рис. 8),

След прямой — точка пересечения прямой с плоскостью проекций (рис. 9). — горизонтальный след прямой, — фронтальный след прямой,

Заметим, что так как . Прямую, которая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. Проекции прямой общего положения всегда наклонены к осям проекций (см. рис. 8, 9).

• Прямые частного положения делятся на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые уровня — прямые, параллельные одной плоскости проекций (рис. 10).

Таким образом, направление одной проекции прямой уровня постоянно — параллельно направлению оси проекций. Вторая проекция наклонена к оси под углом.

Проецирующие прямые — прямые, перпендикулярные плоскости проекций (рис. 11).

Таким образом, одна проекция проецирующей прямой — точка, вторая проекция направлена параллельно линиям ивязи.

Самоконтроль 3. На рис 12 изображен отрезок профильной прямой . Можно ли построить горизонтальную проекцию точки , которая принадлежит отрезку, не построив профильную проекцию отрезка?

За. Можно (с. 55) 36. Нельзя (с, ,56)

Пример задачи №2.

Достроить фронтальную проекцию отрезка горизонтальной прямой (рис. 13а).

Решение:

Так как отрезок параллелен горизонтальной плоскости, то фронтальная проекция его должна быть параллельна направлению оси . Положение фронтальной проекции точки определяем в пересечении линии связи, проведенной с вертикально (рис 136), и направления фронтальной проекции прямой.

Пример задачи №3.

Построить проекции фронтально проецирующего отрезка , длина которого 20 мм (рис. 14а).

Решение:

У фронтально проецирующей прямой фронтальная проекция вырожденная — точка, а горизонтальная проекции расположена вертикально,

На горизонтальную плоскость проекций отрезок проецируется без искажения.

Выполненные построения ясны на чертеже (рис. 146).

Взаимное расположение прямых. Прямые параллельны, если одноименные проекции двух прямых параллельны.

Прямые пересекаются, если точки пересечения одноименных проекций двух прямых лежат на одной линии связи.

Если на чертеже отсутствуют признаки параллельности и пересечения, то заданы скрещивающиеся прямые.

Самоконтроль 4. На каком рисунке изображены скрещивающиеся прямые?

4а. На рис. 15а (с. 55)

4б. На рис, 156 (с. 56)

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна, а другая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Пример задачи №4.

Через точку провести прямую а, пересекающую прямую под прямым углом (рис. 16а),

Решение:

1. Так как прямая параллельна , то на фронтальной проекции величина прямого угла сохранится.
2. Построение начинаем с фронтальной проекции, проведя (рис. 16 6),
3. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых — .
4. Строим горизонтальную проекцию точки .
5. .

Пример задачи №5.

Через точку провести горизонтальную прямую, пересекающую отрезок (рис. 17а),

Решение:

1. Так как искомая прямая является горизонтальной, то фронтальная проекция ее должна быть направлена параллельно направлению оси . Проводим .
2. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых: (рис. 176).
3. Строим горизонтальную проекцию , учитывая сохранение пропорционального деления отрезка на проекциях.
4. .

Проекции плоскости

Задание плоскости. Плоскость на чертеже задается проекциями ее элементов, которые определяют положении ее в пространстве, а именно; проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями параллельных прямых; проекциями пересекающихся прямых; проекциями прямой и точки вне этой прямой, проекциями плоской фигуры; следами.

По отношению к плоскостям проекций плоскости разделяются на плоскости общего и плоскости частного положения. Плоскости частного положения могут быть перпендикулярными к одной из плоскостей (проецирующие) иди к двум плоскостям одновременно {плоскости уровня).

Опознавательным признаком плоскости частного положения является наличие вырожденной проекции (проекции-линии) плоскости на эпюре. Точка и прямая в плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она находится на примой, лежащей в данной плоскости.

Прямая лежит в плоскости, если она пересекается с прямыми, задаюшими эту плоскость, или пересекается с одной из них и параллельна другой.

Признаком принадлежности точки и прямой к плоскости частного положения является совмещение на эпюре их проекций с одноименными вырожденными проекциями данной плоскости.

Самоконтроль 6. На каком рисунке прямая принадлежит плоскости ? 6 а. На рис. 19 а (с. 55) б б. На рис. 19 6 (с. 56).

Пример задачи №6.

Построить горизонтальную проекцию прямой , лежащей в плоскости (рис. 20 а).

Решение:

1. Прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Так как фронтальная проекция прямой пересекает фронтальные проекции прямых и , то эти прямые в пространстве пересекаются.
2. Отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямых
3. Строим горизонтальные проекции точек и , учитывая что .
4. (см. рис. 20 б).

Пример задачи №7.

Построить фронтальную проекцию прямой , принадлежащей плоскости (рис 21 а).

Решение:

Так как фронтальные проекции прямых и совпадают, то заданная плоскость является фронтально проецирующей плоскостью. В этом случае фронтальная проекция плоскости, (вырожденная проекция) обладает собирательным свойством и поэтому (рис. 216).

Следует отметить, что для плоскости общего положения на эпюре произвольно можно задавать только одну проекцию любой прямой, принадлежащей плоскости. Вторую проекцию этой прямой необходимо строить, учитывая, что прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Для проецирующей плоскости достаточно совпадения соответствующей проекции прямой с вырожденной проекцией плоскости, чтобы эта прямая принадлежала плоскости.

Пример задачи №8.

Построить фронтальную проекцию точки , принадлежащей плоскости (рис. 22 а).

Решение:

1. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она находится на какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Поэтому через и (рис. 226) проводим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой» лежащей в данной плоскости.

Главные линии плоскости. К главным линиям плоскости относятся:

1. Линии уровня плоскости, т.е. прямые плоскости, параллельные плоскостям проекций

— горизонталь плоскости; — фронталь плоскости.

1. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Такие прямые принадлежат плоскости и перпендикулярны к линиям уровня плоскости.

Для построения горизонтали плоскости (рис. 23) необходимо;

На рис. 23 построены проекции линии наибольшего наклона плоскости к плоскости т.к. (согласно теореме о проекциях прямого угла) Линию наибольшего наклона плоскости к плоскости называют линией ската.

Аналогично на рис. 24 построены проекции фронтали и линии наибольшего наклона плоскости к плоскости .

Самоконтроль 7. Можно ли считать заданной плоскость, если на эпюре задана линия ската плоскости?

7 а. Можно (с. 55)

7 б. Нельзя (с. 56)

Пример задачи №9.

Построить проекции отрезка , принадлежащею плоскости , зная что и величина отрезка равна 30 мм (рис. 25).

Решение:

Отрезок принадлежит горизонтали плоскости, проходящей через . Строим проекции этой горизонтали (рис. 25 а). На горизонтальной проекции горизонтали находим горизонтальную проекцию точки , учитывая что . Находим фронтальную проекцию точки (рис. 25 б).

Параллельность прямой и плоскости двух плоскостей. Признаком параллельности плоскости и прямой является-параллельность прямой некоторой прямой плоскости.

• Признаком параллельности прямой и плоскости частного положения является параллельность вырожденной проекции плоскости соответствующей проекции прямой.

Признаком параллельности двух плоскостей является параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости, соответственно, двум пересекающимся прямым второй плоскости. Признаком параллельности плоскостей частного положения является взаимная параллельность одноименных вырожденных проекций. У параллельных плоскостей одноименные линии уровня взаимно параллельны.

Пример задачи №10.

Построить горизонтальную проекцию прямой проходящей через точку и параллельной плоскости (рис. 26 а).

Решение:

(Рис. 26 6).

1. В плоскости проводим фронтальную проекцию , прямой параллельной прямой .
2. Строим горизонтальную проекцию , учитывая принадлежность прямой плоскости .
3. Строим .

Перпендикулярность прямой и плоскости, двyx плоскостей. Прямая, перпендикулярная плоскости, изображается на фронтальной проекции перпендикулярной к фронтали плоскости, на горизонтальной — к горизонтали плоскости.

Пример задачи №11.

Опустить перпендикуляр из точки на плоскость (рис. 27 а).

Решение:

(рис. 27 б).

1. Проводим произвольные горизонталь и фронталь данной плоскости (рис. 27 б).
2. Затем проводим проекции перпендикуляра rti эАг А п2-L/2;

Пример задачи №12.

Через прямую провести плоскость, перпендикулярную к плоскости (рис. 24 а).

Решение:

(рис. 28 б).

1. Строим произвольные горизонталь и фронталь плоскости .
2. Выбираем на прямой произвольную точку .
3. Из точки опускаем перпендикуляр на плоскость . Это перпендикуляр совместно с прямой определяют искомую плоскость .

Поверхность: общие сведения

Поверхность — это совокупность последовательных положений непрерывно перемещающейся в пространстве линии в пространстве линии.

Перемещающуюся в пространстве линию называют образующей. Она может быть прямой, кривой, постоянной или переменной. Образующей может быть также поверхность (рис. 29).

Закон перемещения может быть оговорен словесно (вращательное, поступательное, винтовое) и задан направляющей, т.е, неподвижной линией, по которой скользит перемещающаяся образующая.

Поверхность, которая может быть получена перемещением прямой линии, называют линейчатой (рис. 29 а).

Поверхность, образующей которой может быть только кривая, называют кривой (рис. 29 6).

По признаку перемещения образующей поверхности делят на поверхности вращения, поверхности переноса, винтовые поверхности.

Поверхности делят также на развертываемые и нераввертываемые.

Задание поверхности на чертеже. Поверхность считается заданной, если в отношении любой точки пространства на чертеже однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности!.

Поверхность на чертеже может быть задана ее определителем, очерком, каркасом.

Определитель поверхности — это совокупность условий, однозначно определяющих данную поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометричесхой, задающей форму образующей и направляющей, и алгоритмической, определяющей условия перемещения или же изменения образующей.

На рис. 30 задана поверхность конуса. Ее определителем является направляющая и образующая , пересекающая кривую и проходящая через неподвижную точку .

Точка принадлежит данной поверхности, так как она принадлежит линии этой поверхности.

Очерк поверхности — это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей на данную плоскость проекций цилиндрической поверхностью, огибающей заданную поверхность (рис. 31).

Линию касания огибающей проецирующей поверхности с данной поверхностью называют линией контура.

Проекцию линии контура на плоскость, перпендикулярную данной плоскости проекций, называют линией видимости.

Линия контура, так же как и линия видимости, делит поверхность на ее видимую и невидимую части в проекции на данную плоскость,

Каркас поверхности — это совокупность линий, принадлежащих поверхности (рис. 32).

Линейчатые поверхности — что те, у которых образующей может быть прямая, линия (рис. 33).

К ним относят торсы, и как частный случай цилиндрические, конические, призматические и пирамидальные поверхности. Эти поверхности развертываемые.

Неразвертываемые линейчатые поверхности это поверхности с плоскостью параллелизма — цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид (косая плоскость).

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (кривой или примой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью поверхности (рис. 34).

Окружности, принадлежащие поверхности вращения и лежащие в плоскостих, перпендикулярных оси поверхности, называют параллелями поверхности. Параллель наименьшего радиуса — щрло, наибольшего -экватор.

Любая плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, выделяет на поверхности кривую, называемую меридианом поверхности.

Меридианы, проекции которых дают очерки поверхности, называют главными.

Известно, что точка, например, точка на рис. 33, 34, принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности. В качестве линии на поверхности выбирают графически простые линии — прямые или окружности. Для линейчатых поверхностей — это будут образующие -прямые линии» для поверхностей вращения — параллели — окружности.

На рис. 35, 36 показано решение задач на построение ортогональных проекций точки , принадлежащей поверхности.

Решение:

Решение задачи на построение точки, принадлежащей поверхности, проводится в следующей последовательности:

1) одну проекцию точки задаем произвольно в пределах очерка поверхности,

2) через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомогательной линии поверхности;

3) находим другую проекцию проведенной линии исходя из принадлежности ее данной поверхности,

4) на найденной проекции вспомогательной линии отмечаем искомую проекцию точки.

На рис. 35 а, б, в проекции точки построены на поверхности наклонной призмы, наклонного конуса, коноида с помощью прямолинейной образующей , проходящей через точку, .

На рис. 36 а,б,в проекции точки , принадлежащей соответственно поверхности вращения общего вида, сфере, тору, построены с помощью вспомогательной окружности-параллели, проходящей через эту точку.

Проекции точки , принадлежащей поверхности кругового конуса, могут быть построены как с помощью окружности-параллели, так и с помощью прямолинейной образующей (рис. 36 г,д).

Поверхность может занимать относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение (рис. 36 е.ж).

Поверхность является проецирующей относительно той плоскости проекций, которой ее образующие перпендикулярны. Проецирующей может быть только поверхность цилиндра, призмы.

Построение проекций точки, принадлежащей проецирующей поверхности, не требует введения вспомогательных линий поверхности, так как соответствующие ее проекции будут всегда расположены на вырожденной проекции данной поверхности.

Самоконтроль 8. Которая из отмеченных точек принадлежит заданной на рис. 37 поверхности вращения? Ответ:

8 а — точка А (с. 55) 8 б — точка В (с. 56). Построение проекций линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения проекций точки, принадлежащей поверхности. Различие состоит в том, что определяются проекции не одной, а множества точек, принадлежащих линии.

Если задана одна проекция линии, принадлежащей поверхности, то решение задачи на построение второй проекции этой линии сводится к следующему:

1) на заданной проекции линии задают проекции некоторых точек;

2) через проекции отмеченных точек проводят одноименные проекции вспомогательных линий поверхности;

3) строят вторую проекцию вспомогательных линий поверхности;

4) находят вторую проекцию отмеченных точек на соответствующих проекциях вспомогательных линий;

5) соединяют построенные проекции отмеченных точек с учетом их видимости и получают искомую проекцию заданной на поверхности линии.

Если необходимо определить проекции линии, принадлежащей проецирующей поверхности, то построения значительно упрощаются за счет наличия вырожденной проекции, обладающей собирательным свойством.

Необходимо отметить, что следует внимательно отнестись к выбору точек, с помощью которых будет строиться вторая проекция заданной линии.

Если нужно строить ломаную линию, то обязательно нужно построить точки излома. Обязательному построению подлежат также точки, лежащие на характерных линиях поверхности (очерковых линиях, ребрах многогранной поверхности), Если заданы закономерные кривые, то необходимо строить характерные точки этой кривой (вершины, точки, определяющие оси симметрии, кривой и т.д.).

На рис. 38-42 приведены примеры построения проекций линий, привадлежащих различным поверхностям. Проследите за выполненными на этих рисунках построениями.

Пример задачи №13.

Задана фронталь проекция линий, принадлежащих поверхности данного тела (рис, 38).

Требуется построить их другие проекции.

Решение:

Боковая поверхность тела — горизонтально проецирующая, поэтому горизонтальные проекции отмеченных на фронтальной проекции точек 1-10 находим на вырожденной проекции тела, т.е. на горизонтальном очерке.

Их профильные проекции строим по двум проекциям — фронтальной и горизонтальной.

Точки 3. 5, 7, 9 — случайные, с их помощью определяют кривизну полученных в профильной проекции кривых.

Пример задачи №14.

Задана горизонтальная проекция линии, принадлежащей поверхности кругового конуса (рис. 39).

Требуется построить отсутствующие проекции этой линии.

Решение Конус — поверхности общего вида. Заданная линия гипербола. Ее вершина определяется точкой 4, Точка 5 определяет видимость кривой во фронтальной проекции, точка 3 — в профильной. Их проекции отмечаем на главных меридианах поверхности. Случайные точки 2, 6 и высшую точку 4 строим с помощью окружностей параллелей, проведенных через эти точки,

Пример задачи №15.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности сферы (рис. 40).

Требуется пост роить их горизонтальную и профильные проекции.

Решение:

Сфера — поверхность общего вида. Каждая из этих линий половина окружности. Полуокружность 3-9 изображается и горизонтальной и профильной проекциях н виде половины эллипсон. Точки 9, 3 определяют одну ось эллипса, точка 6 — другую полуось, В качестве вспомогательных линий при построении проекций отмеченных точек использованы окружности-параллели сферы.

Пример задачи №16.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности тора (рис. 41).

Требуется построить их горизонтальную и профильные проекции.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек находим на других проекциях с помощью окружностей-параллелей, проходящих через эти точки,

Точка 8 определяет видимость кривой 5-10 в горизонтальной проекции. Точка 3 характерна для кривой 1 -5.

Пример задачи №17.

Задана фронтальная проекции линии , принадлежащей поверхности гиперболического параболоида — косой плоскости (рис. 42). Требуется построить ее горизонтальную проекцию.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек 1-4 кривой определяем с помощью прямолинейных образующих поверхности.

Видимость кривой в горизонтальной проекции не устанавливаем, считая поверхность гиперболического параболоида прозрачной.

Пересечение фигур

Фигурой пересечения прямой и плоскости является точка, двух плоскостей — примам линия, прямой и поверхности — две точки, плоскости и поверхности — крипая или ломаная линия.

Среди множества точек, принадлежащих кривым пересечения, выделяют характерные и случайные точки.

Алгоритм построения точек общих для двух пересекающихся фигур различен в зависимости от того, какое положение этифигуры занимают относительно данных плоскостей проекций, общее или проецирующее.

Если обе пересекающиеся фигуры или одна из них проецирующие, то алгоритм решения упрощается, так как в этом случае одна или две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур.

Другие проекции искомых точек фигуры пересечения находят по двум отмеченным их проекциям или же, в случае если одна фигура проецирующая, по принадлежности этих точек фигуре общего вида, участвующей в данном пересечении.

В том случае, если пересекаются две геометрические фигуры общего вида, то для получения точек общих для них используют способ посредников, плоскостей или поверхностей.

Рассмотрим три варианта решения задач на пересечение фигур при их различном положении относительно данных плоскостей проекций.

Если пересекаются две фигуры, занимающие относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение, то две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур, третью прсекцию находят по двум отмеченным.

Пример задачи №18.

Построить линию пересечения поверхности цилиндра с плоскостью (рис. 44).

Решение:

Анализируя пересекающиеся фигуры, устанавливаем, что боковая поверхность цилиндра горизонтально проецирующая, я плоскость фронтально проецирующая. Отсюда следует, что горизонтальная проекция фигуры пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра, т.е. с окружностью, фронтальная — со следом .

Наметив на фронтальной и горизонтальной проекциях фигуры пересечения ряде точек (точки 1-5), строим их профильные проекции (см. значение для точки 4). Кривой пересечения будет эллипс.

Пример задачи №19.

Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 45).

Решение:

Меньший цилиндр горизонтально проецирующий, больший — профильно проецирующий, следовательно горизонтальные и профильные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, могут быть отмечены ла соответствующих вырожденных проекциях цилиндров.

Фронтальную проекцию искомой линии находим но двум имеющимся проекциям (см. и ).

Пересекаются две геометрические фигуры из которых одна общего положения, другая — проецирующая

В этом случае одна проекция фигуры пересечения совпадаете вырожденной проекцией проецирующей фигуры, другую ее проекцию находим по принадлежности искомых точек фигуре общего вида, участвующей в пересечении,

Пример задачи №20.

Построить пересечение прямой с плоскостью (рис. 46 а).

Решение:

Так как прямая фронтально проецирующая, то фронтальная проекция искомой точки (рис. 46 б) совпадает с вырожденной проекцией прямой . Горизонтальную проекцию находим по принадлежности точки фигуре общего вида, т.е. плоскости . Делаем это с помощью вспомогательной прямой 1-2.

Видимость прямой относительно безграничной непрозрачной плоскости устанавливается по правилу конкурирующих точек (см. ). Проекция выше, а значит проекция в окрестности выбранных конкурирующих точек будет невидима. Видимость проекции прямой меняется после точки пересечения.

Пример задачи №21.

Построить линию пересечения двух плоскостей и (рис. 47 а).

Решение:

— горизонтальная плоскость и в тоже время фронтально проецирующая, следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом (рис. 47 б ), горизонтальную проекцию строим по принадлежности этой линии фигуре общего вида, т.е плоскости .

Пример задачи №22.

Определить точки пересечения прямой с поверхностью конуса (рис. 48).

Решение:

Прямая — фронтально проецирующая, значит . проекции и находим по принадлежности искомых точек поверхности общего вида, т.е. конусу, для чего используем вспомогательные образующие .

Пример задачи №23.

Построить линию пересечения наклонного цилиндра с плоскостью (рис. 49).

Решение:

Искомая линия будет кривой. Плоскость — горизонтально проецирующая, следовательно, горизонтальная проекция искомой кривой совпадает со следом

Отмечаем на следе точки, подлежащие определению во фронтальной проекции, выделив при атом обязательно точки, принадлежащие очерковым образующим.

Каждую изотчеченнык точек находим во фронтальной проекции по принадлежности поверхности цилиндра. Делаем это с помощью образующих цилиндра.

Проследите по чертежу за этими построениями. Точки принадлежат горизонтальному очерку цилиндра, — фронтальному очерку. Точки 1, 2 — случайные.

Заметим, что видимой считаем точку, которая принадлежит видимой на данной проекции образующей. Точки 1, 2 во фронтальной проекции обе невидимы, в горизонтальной точка 2 — видима, — невидима.

Пример задачи №24.

Построить линию пересечения тора и цилиндра (рис. 50).

Решение:

Цилиндр — профильно проецирующий, следовательно с его профильной проекцией совпадает профильная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки, подлежащие определению в других проекциях, и находим каждую ил них по принадлежности фигуре общего вида, т.е. поверхности тора. Делаем это с помощью окружностей — параллелей,

Точки — характерные, Точки определяют видимость кривой в горизонтальной проекции, Точки 1,2- случайные.

Пример задачи №25.

Построить линию пересечения пирамиды и цилиндра (рис. 51).

Решение:

Цилиндр — горизонтально проецирующий, следовательно его горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии. Фронтальные проекции точек, отмеченных на этой линии, находим по принадлежности и к поверхности пирамиды. Делаем Это с помощью линий, параллельны основанию пирамиды.

Проследите за этими построениями на примере точек I, 2.

Пример задачи №26.

Построить линию пересечения тора и призмы (рис. 52).

Решение:

Призма — горизонтампроецирующая, следовательно с ее горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки 1-4, подлежащие определению но фронтальной и профильной проекциях

Точка 3 — случайная. Ее фронтальная проекция построена с помощью окружности — параллели, проведенной через эту точку. Радиус параллели для точки 3 определяется положением точки .

Точка 2 принадлежит фронтальному очерку тора. Радиус параллели для точки 4 определяется положением точки .

Самоконтроль 10. Назовите плоскость, которая пересекает поверхность конуса по гиперболе (рис. 53).

Ответ: 10 а — плоскость (с. 55). 10 б — плоскость (с. 56).

Пересекаются две геометрические фигуры общего положения

Для построения проекций их пересечения используют способ посредников. Посредником может быть плоскость или поверхность*

Сущность способа посредников следующая.

Обе заданные фигуры и (рис. 54) пересекают посредником , находят линии и пересечения заданных фигур с посредником и в пересечении полученных линий отмечают точки , общие для пересекающихся фигур.

При выборе посредника руководствуются тем, чтобы линии, получаемые в пересечении посредника с заданными фигурами, был и графически простыми. Количество посредников зависит от вида пересекающихся фигур,

В случае пересечения прямой с плоскостью или поверхностью плоскость посредник, чаще всего проецирующую, проводят через прямую (рис. 55).

Использование плоскостей посредников

Пример задачи №27.

Определить точку пересечения прямой с плоскостью (рис. 56 а).

Решение:

Так как прямая и плоскость — фигуры общего вида, то для решения задачи используют способ посредников.

Посредник, плоскость проводим через прямую (см. рис. 56 б) и строим линию пересечения посредника с заданной плоскостью , линию . Линию определяют точки 1, 2.

В пересечении линии с заданной прямой отмечаем искомую точку .

Видимость прямой относительно непрозрачной плоскости устанавливаем по правилу конкурирующих точек. Так видимость прямой в горизонтальной проекции определяем с помощью горизонтально конкурирующие точек 3, 4 (см, ).

Так как точка 3, принадлежащая прямой , т.е. плоскости во фронтальной проекции расположена выше, чем точка 4, принадлежащая прямой , то плоскость закрывает в горизонтальной проекции прямую , следовательно, прямая в этой части чертежа невидима.

Во фронтальной проекции видимость прямой относительно непрозрачной плоскости устанавливаемой по фронтально конкурирующим точкам Так как проекция ближе к глазу наблюдателя, чем проекция то прямая в этой части чертежа видима.

Пример задачи №28.

Определить точки пересечения прямой с поверхностью вращения (рис.57).

Решение:

Так как пересекаются геометрические фигуры общего вила, то через прямую, также как и в предыдущем примере, проводим фронтально проецирующую плоскость и строим линию пересечения плоскости-посредника с поверхностью вращения, линию . В пересечении полученной линии с прямой отмечаем искомые точки .

Проекции — видимые, — невидимая.

Пример задачи №29.

Определить линию пересечения двух плоскостей (рис.58).

Решение:

Обе плоскости общего положения, поэтому дли определении точек и , общих для них, используем способ посредников. В качестве посредников выбраны плоскости и .

Пример задачи №30.

Определить линию пересечении сферы и тора (рис. 59).

Решение:

Обе поверхности общею вида, поэтому дли решении задачи используем способ посредников.

Посредники, плоскости и перпендикулярны плоскости и оси тора .

Плоскость пересекает сферу и тор по окружностям и , радиусы которых определяют точки и . В пересечении окружностей получаем точки, общие для сферы и тора, точки 1, 2.

С помощью посредника получаем точку , положение которой в горизонтальной проекции определяет переход кривой от ее видимой части к невидимой.

Использование сфер-посредников

Соосные поверхности пересекаются по окружностям. Сфера соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр расположен на оси поверхности вращении.

Использование концентрических сфер в качестве посредников возможно, ели (рис. 60);

пересекаются поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются;

плоскость, образованная осями пересекающихся поверхностей, параллельна плоскости проекций.

На рис. 60 а показано определение точек общих для конуса и цилиндра , с помощью введения посредника — сферы Сфера пересекает конус по окружностям и , цилиндр по окружностям и . В их пересечении отмечаем точки общие для сферы , конуса и цилиндра,

На рис. 60 б построена линия пересечения конуса и цилиндра.

Проведено множество сфер- посредников, среди которых особо нужно выделить сферу с , который определяется размером максимальной нормали.

Горизонтальные проекции полученных точек определяем исходя из принадлежности их поверхности конуса.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Теорема г. монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности, второго порядка или вписаны а нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

На рис- 61 построены проекции линии пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг сферы.

Линией их пересечения являются два эллипса, фронтальные проекции которых изображаются на чертеже в виде прямых линий.

На рис. 62, 6J даны примеры пересекающихся поверхностей, когда проекции линии пересечения, согласно теореме Г.Монжа, представляют собой отрезки прямых линий.

Примеры решения задач по всем темам начертательной геометрии

Начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются с помощью их изображений на плоскости (чертежей). Разработка методов построения и чтения чертежей, решения геометрических и технических задач является предметом изучения начертательной геометрии. В начертательной геометрии используются графические методы решения задач, поэтому к чертежам предъявляются особые требования – обратимость, точность, наглядность и другие.

Правила построения изображений фигур основано на методе проецирования. Наиболее распространенными в начертательной геометрии являются чертежи, полученные при проецировании фигур на две плоскости – комплексные чертежи в системе двух плоскостей проекций. Под фигурой будем понимать любое множество точек.

Изображением точки, которая является элементом фигуры, является пара точек – две связанные между собой проекции точки. Каждой точке пространства соответствует единственная пара точек плоскости чертежа и каждой паре точек плоскости чертежа соответствует единственная точка пространства. Пара точек плоскости чертежа является геометрической моделью точки пространства.

Изображения фигур пространства, получаемые методами начертательной геометрии, являются геометрическими моделями этих фигур на плоскости. Между фигурой и ее изображением устанавливается строгая геометрическая связь, что позволяет судить о форме и размерах фигуры по ее изображению.

Задачи в начертательной геометрии обычно делятся на позиционные (задачи на определение общих элементов заданных фигур), метрические (задачи на определение значений геометрических величин – длин отрезков, размеров углов и т.д.) и конструктивные (задачи на построение фигур, удовлетворяющих заданным условиям). Знание элементарной геометрии, методов решения позиционных и метрических задач дает возможность решать и конструктивные задачи.

Метод проекций

Для того чтобы чертеж соответствовал изображаемому предмету и передавал его свойства, он должен быть построен по определенным геометрическим законам. Правила построения изображений в инженерной геометрии основаны на методе проекций.

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей.

Проекцией точки на плоскость называется точка пересечения с этой плоскостью проецирующего луча , проходящего в пространстве через точку (рис. 1.1).

Различают два метода проецирования: центральное и параллельное.

Центральное и параллельное проецирование

При центральном проецировании все проецирующие лучи проходят через точку , называемую центром проекций и не лежащую в плоскости проекций. Для построения проекций некоторых точек (рис. 1.2) проводим через эти точки и центр проекций проецирующие лучи до пересечения с плоскостью . На плоскости проекций каждой точке будет соответствовать единственная точка — проекции .

Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при построении изображений архитектурно-строительных объектов, но даст значительное искажение размеров, вследствие чего не применяется для выполнения чертежей.

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны заданному направлению (рис. 1.3). Точки пересечения проецирующих лучей, проходящих через точки с плоскостью проекций — параллельные проекции на плоскости .

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального при бесконечно удаленном центре проекций. В зависимости от направления проецирующих лучей относительно плоскости проекций параллельное проецирование может быть прямоугольным (проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций) и косоугольным (проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный ).

Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки (рис. 1.4) является основание перпендикуляра , проведенного из точки на плоскость . Динамический рисунок с перемещением точек и в пространстве относительно плоскости проекций можно посмотреть здесь.

Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием.

Для разработки чертежей применяется в основном прямоугольное (ортогональное) проецирование. Прямоугольное проецирование включает в себя все свойства центрального и параллельного проецирования.

1. Каждая точка и прямая в пространстве имеют единственную проекцию на плоскости, так как через любую точку в пространстве можно провести только один проецирующий луч (рис. 1.4).
2. Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общий проецирующий луч (рис. 1.5).
3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 1.6).

1. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций (рис. 1.6):

1. Проекции параллельных прямых параллельны. Если , то (рис. 1.7). Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то проекцией этой прямой является точка (прямая , рис. 1.8).

1. Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то на эту плоскость отрезок проецируется в натуральную величину (прямая , рис. 1.8).

Точка в системе двух и трех плоскостей проекций

Возьмем в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости. Одна из них располагается горизонтально — ее называют горизонтальной плоскостью проекций и обозначают буквой . Другая плоскость перпендикулярна горизонтальной и называется фронтальной плоскостью проекций. Эта плоскость обозначается буквой (рис. 1.9). Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей на две полуплоскости.

Спроецируем точку на плоскости проекций и . Горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки , с плоскостью . Обозначим ее символом . Проведем из точки в плоскости перпендикуляр на ось и отметим вспомогательную точку .

Фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций. Фронтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки , с плоскостью . Обозначим ее .

Для получения плоского чертежа точки необходимо совместить плоскость с плоскостью поворотом вокруг оси . При этом отрезки и образуют один отрезок , перпендикулярный к оси . Отрезок называется линией проекционной связи (рис. 1.10). Без обозначения плоскостей и этот чертеж будет выглядеть так, как показано на рис. 1.11. Полученный чертеж имеет название эпюр Монжа (Epure — чертеж (франц.)), в честь основоположника начертательной геометрии французского ученого Гаспара Монжа.

Иногда двух проекций геометрического элемента бывает недостаточно, чтобы определить его форму и истинные размеры. Тогда выполняют построение изображения на третьей плоскости. Введем в систему , третью плоскость проекций, перпендикулярную плоскостям и . Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают (рис. 1.12).

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций называются координатными плоскостями. Они пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым которые называются осями координат и обозначаются . Общая точка — начало координат.

Рассмотрим построение трех проекций некоторой точки пространства. Зададимся произвольной точкой (рис. 1.12). Проецирование на плоскости и выполняется аналогично приведенному выше примеру проецирования точки на две плоскости проекций. Профильной проекцией точки является прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций . Обозначим ее .

Часто с осями проекций совмещают декартову систему координат. Из рис. 1.12 видно, что:

(высота точки — аппликата);

(глубина точки — ордината);

(широта точки — абсцисса).

Чтобы перейти к плоскому изображению, повернем плоскость вниз вокруг оси и плоскость яз вправо вокруг оси до совмещения с плоскостью . При развороте плоскостей и ось воспроизводится дважды.

На рис. 1.13 показано расположение проекций точки после совмещения плоскостей проекций.

Прямые, соединяющие на чертеже две проекции одной и той же точки, являются линиями проекционной связи, между и — вертикальная линия связи, между и — горизонтальная линия связи, между проекциями и — ломаная линия связи. Переход от оси плоскости к оси плоскости может осуществляться при помощи дуги или вспомогательной прямой, проведенной под углом к оси .

На рис. 1.14 выполнено построение профильной проекции точки по заданной горизонтальной и фронтальной . Построение выполняется следующим образом.

1. Проводим через проекцию горизонтальную линию связи, на которой находится профильная проекция .
2. Проводим ломаную линию связи через до пересечения с горизонтальной линией связи, проведенной через фронтальную проекцию .

Профильную проекцию можно получить, откладывая на горизонтальной линии связи от точки отрезок, равный координате .

Как известно, положение точки в пространстве может быть задано при помощи трех ее координат (абсциссы , ординаты , аппликаты ), т. е. трех чисел, выражающих расстояния от этой точки до трех плоскостей проекций. Запись координат точки производится в такой форме: . Например, задана точка . Эта запись означает, что точка определяется координатами .

Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то построение проводят так, как показано на рис. 1.13, 1.14 — откладывается на оси от точки отрезок , а на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки ,откладывают отрезки и . Затем строят профильную проекцию , как описано выше.

Проекции отрезка прямой линии

Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется двумя точками, поэтому чтобы построить проекции этой прямой, необходимо иметь проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Возьмем на произвольной прямой две точки и (рис. 1.15). Их проекции и на плоскости по определяют прямую, которую можно рассматривать как линию пересечения плоскости с плоскостью , определяемой прямой и проецирующими лучами и . Линия пересечения плоскостей и проходит через проекции и на плоскости . Эта линия и является проекцией прямой на плоскости проекций .

Одна проекция прямой не определяет ее положения в пространстве. Для однозначного определения прямой в пространстве необходимы как минимум две проекции.

Прямые общего и частного положения

Прямые в пространстве могут занимать относительно плоскостей проекций различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. На рис. 1.16, а дано пространственное изображение, а на рис. 1.16,6-чертеж прямой .

Точки и находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей проекций, т. е. прямая не параллельна ни одной из них. Значит, прямая общего положения.

На представленном примере показан перемещающийся в пространстве отрезок и его проекции на три плоскости.

По двум известным проекциям отрезка прямой всегда можно построить третью проекцию, так как любая пара проекций содержит все три координаты конечных точек отрезка.

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми частного положения.

Прямая, параллельная плоскости проекций, называется прямой уровня. Существуют три линии уровня.

Прямая, перпендикулярная к плоскостям проекций, называется проецирующей. Различают три вида проецирующих прямых.

Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Отрезки прямых общего положения не проецируются в натуральную величину ни на одну из плоскостей проекций. Длину (натуральную величину — ) отрезка можно определить на основании свойства ортогонального проецирования.

Из рисунка 1.17 видно, что натуральная величина отрезка общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника . В этом треугольнике один катет параллелен плоскости и равен по длине горизонтальной проекции отрезка , а величина второго катета равна разности расстояний точек и до плоскости проекций , т. е. .

Угол — угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций .

Таким образом, на горизонтальной проекции отрезка (рис. 1.18) можно построить прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом . Гипотенуза этого треугольника будет натуральной величиной отрезка , а угол определяет угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций .

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной плоскости проекций, взяв в качестве второго катета разность расстояний концов отрезка () до фронтальной плоскости проекций . Отрезок -натуральная величина отрезка , угол — угол наклона к плоскости .

Относительное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут занимать различное положение относительно друг друга. Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки лежат на одноименных проекциях данной прямой. Точка принадлежит прямой (рис. 1.19), так как се проекции и лежат на одноименных проекциях прямой и . Точки не принадлежат прямой , так как одна из проекций этих точек не лежит на соответствующей проекции прямой.

Задание плоскости на чертеже

Плоскостью называется поверхность, образуемая перемещением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

На чертеже плоскость можно изобразить только в том случае, если она проецируется в линию. На рис. 1.20 плоскость , расположенная перпендикулярно к плоскости , проецируется на нее прямой линией .

Если плоскость не перпендикулярна к плоскости проекций, то изобразить ее на чертеже невозможно, так как проекции плоскости занимают полностью всю плоскость проекций.

Однако ее можно задать на чертеже, изобразив отдельные геометрические элементы, определяющие ее.

Такими элементами являются:

• три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 1.21, а);
• прямая и точка, не лежащая на ней (рис. 1.21, б);
• пересекающиеся прямые (рис. 1.21, в);
• две параллельные прямые (рис. 1.21, г);
• плоская фигура (рис. 1.21, <)).

Плоскости общего и частного положения

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (рис. 1.22). Эти плоскости имеют наибольшее распространение. Причем плоскость не ограничивается задающей ее плоской фигурой, а является бесконечной (если иное не оговорено в условии задачи).

К плоскостям частного положения относятся плоскости, перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций.

Если плоскости перпендикулярны к одной из плоскостей проекций, то они называются проецирующими.

Различают горизонтально-проецирующую, фронтально-проецирующую и профильно-проецирующую плоскости.

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются плоскостями уровня.

К ним относятся:

1. горизонтальная плоскость уровня — параллельная плоскости проекций ;
2. фронтальная плоскость уровня — параллельная плоскости ;
3. профильная плоскость уровня — параллельная плоскости .

Прямая и точка в плоскости

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относятся: построение прямой, принадлежащей заданной плоскости; построение недостающих проекций точки, лежащей в плоскости. Решение указанных задач основано на известных положениях геометрии, перечисленных ниже.

• Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости.

Например, плоскость задана параллельными прямыми и (горизонтальные проекции и фронтальные проекции на рис. 1.23). Требуется построить горизонтальную проекцию прямой , лежащей в этой плоскости, если известна ее фронтальная проекция .

Прямые лежат в одной плоскости, поэтому точки и являются точками пересечения соответственно прямых и и и . По линиям связи определяем горизонтальные проекции точек и . Через проекции точек и проводим горизонтальную проекцию прямой.

1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку этой плоскости параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Например, плоскость задана треугольником (проекции и на рис. 1.24). Требуется построить прямую, лежащую в плоскости и проходящую через точку . Через точку проводим прямую , параллельную .

Следует отметить, что через точку в плоскости треугольника можно провести множество прямых.

Точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, лежащей в этой плоскости. Например, необходимо определить фронтальную проекцию точки , принадлежащей плоскости, заданной треугольником (рис. 1.25). Через точку проведем горизонтальную проекцию прямой и построим . Проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой . По линии связи находим фронтальную проекцию точки .

Прямые особого положения в плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относятся горизонтали, фронтали, профильные линии. Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонталью плоскости. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси . Построение проекций горизонтали треугольника , представленного проекциями и на рис. 1.26, начинается с проведения из вершины фронтальной проекции горизонтали , затем по линиям проекционной связи строится горизонтальная проекция .

На рис. 1.27 построение фронтали (линии, параллельной фронтальной плоскости проекций) треугольника удобно начать с горизонтальной проекции , затем с помощью линий проекционной связи строится фронтальная проекция .

Задачи с решением №1

Задача №1.

По заданным координатам точки построить ее проекции.

Решение:

По оси откладываем (точка на рис. 1.28). В точке восстанавливаем перпендикуляр к оси (линия связи) и, отложив на нем и , получаем — горизонтальную и — фронтальную проекции точки .

Затем из точки проведем перпендикуляр к оси (точка ). Радиусом переносим точку на ось на профильной проекции.

Из точки проводим горизонтальную линию связи. В пересечении линий связи получим точку — профильную проекцию точки .

Задача №2.

Через точку (проекции и на рис. 1.29) провести фронтальную прямую длиной под углом к плоскости и отложить на ней отрезок .

Решение:

Прямая параллельна фронтальной плоскости проекций яг и спроецирустся на эту плоскость в натуральную величину.

Из точки проводим прямую под углом к оси и откладываем на ней отрезок .

На фронтальной проекции откладываем отрезок . По линии связи определяем горизонтальную проекцию точки .

Вопросы для контроля

1. Как называются и обозначаются плоскости проекций?
2. Сформулируйте основные свойства прямоугольного проецирования.
3. Какие координаты определяют положение фронтальной проекции точки?
4. Какая прямая называется прямой общего положения?

Относительное положение двух прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение — они могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться. Из свойств параллельного проецирования следует, что если прямые параллельны (рис. 2.1), то их проекции также параллельны. На рис. 2.2 приведен чертеж параллельных прямых и . Проекции .

Если прямые в пространстве пересекаются, то их проекции также пересекаются и точка пересечения лежит на одной общей линии связи. Пересекающиеся прямые и , приведенные на рис. 2.3, а, имеют общую точку .

Поэтому горизонтальная () и фронтальная (К») проекции этой точки лежат на пересечении одноименных проекций данных прямых. На рис. 2.3, б проекции точки и соединены линией связи (находятся на одном перпендикуляре к оси проекций).

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они называются скрещивающимися. Как видно из рис. 2.4, а и б, горизонтальные проекции точек и прямых и , заданных проекциями и , и фронтальные проекции точек и сливаются в одну, так как расположены на одной проецирующей прямой. Но эти точки пересечения одноименных проекций ( и ) не являются общими для двух прямых, и, следовательно, прямые и скрещиваются.

Пары точек и , лежащие на горизонтально-проецирующей прямой, или и , лежащие на фронтально-проецирующей прямой, называются конкурирующими.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая, не лежащая в плоскости, может быть параллельна плоскости или пересекаться с ней. Решение вопроса о параллельности прямой и плоскости основывается на следующем свойстве: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Задача и решение №2

Через точку требуется провести горизонтальную прямую, параллельную плоскости треугольника (рис. 2.5).

Построение следует начинать с проведения в плоскости треугольника произвольной прямой — горизонтали , например через вершину .

Затем через заданную точку проводим прямую , параллельную .

Если заданы плоскость и прямая, то для определения их параллельности нужно попытаться построить в плоскости прямую, параллельную заданной.

Параллельность двух плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые, принадлежащие одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, на рис. 2.6 плоскость треугольника параллельна плоскости двух пересекающихся прямых и , проходящих через точку , так как две стороны и соответственно параллельны прямым и .

Задача:

Через точку требуется провести плоскость, параллельную плоскости параллельных прямых и (рис. 2.7, а).

Решение. Через точку проводим прямую , параллельную прямым и , задающим плоскость (рис. 2.7, б).

Для того чтобы получить вторую прямую, проводим в заданной плоскости произвольную прямую 1-2. Затем проводим через точку прямую , параллельную прямой 1-2. Прямые и пересекаются и параллельны двум пересекающимся прямым заданной плоскости, следовательно, плоскости параллельны.

Пересечение двух плоскостей

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, которая строится по двум точкам, общим для обеих плоскостей (рис. 2.8). Линия пересечения, по которой пересекаются между собой две плоскости, проходит через точки и , в которых прямые и плоскости треугольника пересекают вторую плоскость, т. е. точки и принадлежат обеим плоскостям.

Для нахождения точек пересечения приходится выполнять целый ряд вспомогательных построений.

На рис. 2.9 приведен пример построения линии пересечения двух плоскостей: плоскости общего положения, заданной треугольником , и фронтально-проецирующей плоскости треугольника . В данном случае решение упрощается, так как одна из плоскостей занимает частное положение. Общими точками для этих двух плоскостей будут точки пересечения и сторон и треугольника с «вырожденной» проекцией треугольника . Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией . Горизонтальные проекции и строятся при помощи линий связи.

При рассмотрении фронтальных проекций видно, что часть треугольника расположена над проекцией и на горизонтальной проекции будет видна («накрывает» плоскость треугольника ). Часть располагается под и «накрывается» плоскостью треугольника .

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Пусть в пространстве (рис. 2.10) заданы две плоскости общего положения и , плоскость — двумя пересекающимися прямыми и , плоскость — двумя параллельными прямыми и . Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, общие для обеих плоскостей.

Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей применяют плоскости частного положения. В данном случае использованы горизонтальные плоскости и . Плоскость пересекает плоскости и по горизонталям 1-2 и 3-4 соответственно. Эти горизонтали, пересекаясь, определяют точку , общую для плоскостей и . Вторая вспомогательная плоскость пересекает заданные плоскости по горизонталям 5-6 и 7-8, которые, пересекаясь, определяют вторую общую точку . Прямая — искомая линия пересечения плоскостей и . На рис. 2.11 описанный метод применен для решения этой задачи на проекционном чертеже.

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Так как плоскости частного положения проецируются на перпендикулярную к ней плоскость проекций в виде прямой линии, то на этой прямой должна находиться соответствующая проекция точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью. Примеры определения точек пересечения прямой с плоскостью частного положения даны на рис. 2.12.

На рис. 2.12, а прямая общего положения пересекается с фронтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником . Фронтальная проекция точки пересечения находится в точке пересечения фронтальной проекции прямой с проекцией . Горизонтальная проекция построена при помощи линий связи.

На рис. 2.12,6 прямая общего положения пересекается с горизонтальной плоскостью , заданной проекцией . В этом случае фронтальная проекция точки пересечения определена в пересечении фронтальной проекции прямой с проекцией плоскости . Горизонтальная проекция построена при помощи линии связи.

Во всех случаях плоскость считается «непрозрачной» — та часть прямой, которая закрывается плоскостью, показывается штриховой линией.

Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения следует выполнить следующие построения:

• провести через прямую вспомогательную плоскость;
• построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;
• найти точку пересечения заданной прямой и построенной;
• определить видимые части проекций данной прямой.

На рис. 2.13 приведено построение точки пересечения прямой (проекции , ) с плоскостью, заданной треугольником (проекции ).

Через прямую проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость . По горизонтальным проекциям и точек 1 и 2 находим фронтальные и , соединяя которые получаем фронтальную проекцию линии пересечения . Проекция пересекает фронтальную проекцию в точке , с помощью линии связи определяем горизонтальную проекцию точки . Видимость прямой и плоскости на горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально-конкурирующих точек 2 и 3. Точка 2 лежит на стороне а 3 — на прямой .

Их фронтальные проекции и показывают, что точка 2 находится ниже точки 3, поэтому на горизонтальной плоскости проекций горизонтальная проекция точки 2 будет закрыта проекцией точки 3. Отсюда следует, что проекция расположена ниже проекции и участок этой прямой с левой стороны до будет видимым. Относительную видимость на фронтальной плоскости проекций можно определить с помощью фронтально-конкурирующих точек 4 и 5.

На рис. 2.14 изображена горизонтально-проецирующая прямая , пересекающаяся с плоскостью общего положения, заданной треугольником .

Положение горизонтальной проекции точки пересечения известно а положение фронтальной проекции определено при помощи прямой треугольника .

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

На рис. 2.15 показано построение перпендикуляра из точки к плоскости треугольника . Направление проекций перпендикуляра определяется горизонталью (прямая ) и фронталью (прямая ) плоскости треугольника.

Горизонтальная проекция перпендикуляра проведена под прямым углом к проекции горизонтали, а фронтальная проекция расположена под прямым углом к фронтальной проекции фронтали.

Задача и решение №3

Пусть требуется построить плоскость, проходящую через точку и перпендикулярную данной прямой (рис. 2.16).

Искомую плоскость задаем двумя пересекающимися прямыми (горизонталью и фронталью ), проходящими через точку .

Горизонтальная проекция горизонтали перпендикулярна горизонтальной проекции прямой , фронтальная проекция фронтали перпендикулярна фронтальной проекции .

Если плоскости занимают частное положение, то перпендикуляры к этим плоскостям располагаются параллельно плоскостям проекций. Так, перпендикуляром к горизонтально-проецирующей плоскости (проекция ) является горизонталь (рис. 2.17, а). Фронтальная прямая перпендикулярна фронтально-проецирующей плоскости (проекция рис. 2.17, б). Горизонтально-проецирующая прямая является перпендикуляром к горизонтальной плоскости (проекция рис. 2.17, в).

Взаимно перпендикулярные прямые общего положения образуют прямой угол, который проецируется на плоскости проекций с искажением. В общем случае перпендикуляр к прямой можно построить с помощью плоскости, расположенной перпендикулярно к этой прямой.

На рис. 2.18 показано построение перпендикуляра из точки к прямой . Сначала через точку проводим плоскость, перпендикулярную к прямой . Эта плоскость задается двумя пересекающимися прямыми: горизонталью и фронталью (при этом горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции , а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции ).

Затем определяем точку пересечения прямой с проведенной плоскостью. Для этого через прямую проводим фронтально-проецирующую плоскость , которая пересекает плоскость, заданную горизонталью и фронталью , по линии 1-2 (проекции .

В пересечении прямой 1-2 с прямой получается точка . Прямая является искомым перпендикуляром, так как пересекает прямую и находится в плоскости, перпендикулярной прямой .

При построении проекций перпендикуляра к прямым частного положения задача упрощается, так как одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции и прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.

Так на рис. 2.19, а показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки к горизонтали . Горизонтальная проекция перпендикуляра располагается под прямым углом к горизонтальной проекции прямой . Фронтальная проекция определяется при помощи линий связи (точка принадлежит прямой ). На рис. 2.19, б показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки к фронтально-проецирующей прямой . Построение фронтальной проекции перпендикуляра очевидно из рисунка, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции прямой .

Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. На рис. 2.20 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником . Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую . Следовательно, искомая плоскость определяется прямой и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра в плоскости взяты горизонталь и фронталь (). Через точку прямой проведены проекции перпендикуляра к плоскости .

Образованная пересекающимися прямыми и плоскость перпендикулярна к плоскости , так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости.

Задачи с решением

Задача №1.

Построить фронтальную проекцию отрезка прямой , принадлежащую плоскости, заданной двумя параллельными прямыми и (рис. 2.21).

Решение:

Обозначим горизонтальные проекции точек пересечения прямой с прямыми и соответственно и .

По линиям связи определяем их фронтальные проекции и и проводим искомую проекцию .

На примере здесь можно проследить ход решения подобной задачи.

Задача №2.

В плоскости, заданной прямой и точкой , провести горизонталь на расстоянии 15 мм от горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.22).

Решение:

Зададим исходную плоскость двумя пересекающимися прямыми. Для этого из точки проведем прямую , пересекающую прямую в точке . Затем на расстоянии 15 мм от оси проведем фронтальную проекцию горизонтали . По линиям связи определим горизонтальные проекции точек и и через них проведем горизонтальную проекцию горизонтали.

Задача №3.

Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками и (условие на рис. 2.23).

Решение:

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения используем вспомогательные плоскости. На рис. 2.24, а приведено построение линии пересечения .

Точка найдена как точка пересечения прямой с плоскостью треугольника . Для ее построения через сторону проведена фронтально-проецирующая плоскость (на рисунке проекция совпадает с проекцией ). Плоскость пересекает плоскость треугольника по прямой 1-2; точка получается как точка пересечения прямых и 1-2. Сначала находим горизонтальную проекцию точки , затем по линии связи строим фронтальную проекцию . Точка линии пересечения треугольников получена с помощью второй плоскости , которая проведена через прямую треугольника .

Фронтальная проекция совпадает с проекцией . Плоскость пересекает треугольник по линии 3-4. На пересечении прямых и 3-4 получается точка , принадлежащая линии пересечения двух треугольников. Сначала находится горизонтальная проекция точки , затем по линии связи определяется фронтальная проекция .

Для определения видимости сторон треугольников надо сравнить положение двух точек, из которых одна принадлежит стороне треугольника , вторая — стороне треугольника и у которых совпадают либо горизонтальные, либо фронтальные проекции (конкурирующие точки). В первом случае устанавливается, какая из этих точек «закрывает» другую по отношению к горизонтальной плоскости проекций, во втором — относительно фронтальной плоскости проекций.

На рис. 2.24, б в качестве примера приведены две горизонтально-конкурирующие точки — и . У этих точек совпадают горизонтальные проекции (). Но точка принадлежит стороне треугольника и расположена выше, чем точка , принадлежащая стороне треугольника . Следовательно, для наблюдателя, смотрящего на плоскость сверху, точка «закрывает» точку , а это значит, что данная часть треугольника , которой принадлежит точка , закрывает треугольник . Поэтому часть горизонтальной проекции стороны, закрытой треугольником , показывается штриховой линией.

Для определения видимости фронтальных проекций треугольников рассмотрим относительное положение двух фронтально-конкурирующих точек и (рис. 2.24, б), у которых фронтальные проекции совпадают .

Точка , расположенная на стороне треугольника , находится ближе к глазу наблюдателя, смотрящего на плоскость , чем точка , расположенная на стороне треугольника . Это значит, что часть треугольника , которой принадлежит точка , закрывает треугольник . Поэтому часть фронтальной проекции стороны , закрытой треугольником , показывается штриховой линией.

Вопросы для контроля

1. Какая плоскость называется плоскостью общего положения?
2. Какая плоскость называется проецирующей?
3. Как проверить принадлежность точки плоскости?
4. Какие линии в плоскости называются горизонталями, фронталями?
5. Каковы признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей?
6. Как построить точку пересечения прямой с плоскостью общего положения?

Способы преобразования проекций геометрических объектов

Решение задач значительно упрощается, если прямые линии и плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае ответ получается или непосредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений.

Переход от общего положения геометрических элементов к частному выполняется следующими способами:

• введением дополнительных плоскостей проекций, расположенных либо параллельно, либо перпендикулярно рассматриваемому геометрическому элементу;
• изменением положения линии или плоской фигуры в пространстве при неизменной системе плоскостей проекций.

Основные задачи преобразования:

1. прямая линия общего положения становится прямой уровня;
2. прямая линия общего положения становится проецирующей прямой;
3. плоскость общего положения становится проецирующей плоскостью;
4. плоскость общего положения становится плоскостью уровня.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа заключается в том, что положение заданных элементов (точек, линий, фигур, поверхностей) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций дополняется новыми плоскостями, по отношению к которым элементы задачи (прямая, плоскость) занимают частное положение.

На рис. 3.1 показана точка , заданная в системе плоскостей проекций . Заменим другой вертикальной плоскостью и построим новую фронтальную проекцию на эту плоскость. Так как плоскость проекций является общей для систем и , то координата точки остается неизменной. Следовательно, расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию от заменяемой проекции до оси . При этом проекция определена как основание перпендикуляра, опущенного из на . Горизонтальная проекция остается прежней, а координата в системе будет теперь иной и определяется расстоянием от точки до плоскости .

Для получения плоского чертежа плоскость вращением совмещается с . Также с совмещается новая фронтальная проекция , которая располагается на общем перпендикуляре с оставшейся без изменения горизонтальной проекцией (рис. 3.2).

Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекций на новую, перпендикулярную . В этом случае измеряется величина координаты , которая определяет расстояние от точки до общей для двух систем плоскости .

Преобразование прямой общего положения в положение прямой уровня

Для преобразования прямой в прямую уровня (т. е. параллельную плоскости проекций) (рис. 3.3) вводят новую плоскость проекций так, чтобы ось проекций была параллельна какой-либо проекции (в данном случае — ). Затем проводятся линии связи перпендикулярно оси и откладываются координаты для построения проекций и , равные координатам проекций и . Новая проекция прямой даст натуральную величину отрезка и позволяет определить угол наклона этого отрезка к плоскости проекций . Угол наклона отрезка к фронтальной плоскости проекций можно определить, построив его изображение на дополнительной плоскости проекций (рис. 3.4). Ось параллельна фронтальной проекции отрезка . Проекция также будет представлять собой натуральную величину отрезка .

На примере здесь можно проследить последовательность построений при решении задачи с использованием способа замены плоскостей.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую

Преобразование прямой общего положения в проецирующее положение требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни к , и к .

На рис. 3.5 выполнено преобразование прямой общего положения в проецирующее. В результате первой замены происходит преобразование прямой в прямую, параллельную плоскости па- Для этого проводится новая ось проекций ‘ и находится проекция .

Затем выполняется вторая замена плоскостей проекций, переход к системе плоскостей . При этом ось проекций проводится перпендикулярно к . В результате прямая располагается перпендикулярно к плоскости проекций и проецируется в виде точки.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующее положение

Известно, что если одна плоскость перпендикулярна другой, то она должна содержать прямую, перпендикулярную этой плоскости. В качестве такой прямой для преобразований плоскости в проецирующее положение следует взять прямую уровня, например горизонталь (рис. 3.6).

Плоскость , перпендикулярная к горизонтали и плоскости , является плоскостью, перпендикулярной к плоскости треугольника . Новая ось проекций проводится перпендикулярно проекции горизонтали . Затем определяются проекции вершин треугольника на плоскость . Проекция вырождается в прямую, что свидетельствует о том, что плоскость треугольника перпендикулярна плоскости . При этом угол наклона плоскости треугольника к плоскости на плоскость проецируется без искажения.

Аналогичное преобразование выполнено на рис. 3.7, где плоскость заменена плоскостью , перпендикулярной и плоскости треугольника . Для этого в плоскости проведена фронталь , перпендикулярно к которой располагается плоскость . Новая ось проведена перпендикулярно .

На линиях связи, проведенных из вершин треугольника перпендикулярно оси откладывают отрезки, равные Плоскость треугольника относительно стала проецирующей. Угол наклона плоскости треугольника к плоскости на плоскости проецируется без искажения.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, параллельная заданной плоскости, не будет перпендикулярна ни ни , т. е. она не образует с плоскостью проекций ортогональной системы. На рис. 3.8 показано преобразование плоскости треугольника общего положения в положение уровня.

При первой замене ( па ) используется горизонталь треугольника . Новая ось проекций проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали . Спроецировав треугольник на новую плоскость проекций , получим проекцию . Эти построения описаны выше.

На втором этапе преобразуем плоскость треугольника в плоскость уровня. Для этого перейдем от системы к системе . Новая плоскость устанавливается параллельно треугольнику, а значит, новая ось на чертеже проводится параллельно прямой, на которой расположены точки .

Через указанные точки проводят перпендикуляры — линии связи к новой оси и откладывают на них в плоскости отрезки, равные по длине расстояниям от оси до вершин и соответственно. Полученная проекция определяет истинную величину треугольника.

Подобные двойные преобразования используются для решения задач на определение углов при вершинах треугольника, построение высот и биссектрис его углов, центра вписанной (описанной) окружности и т. п., так как эти задачи требуют определения натуральных величин треугольников.

При вращении вокруг неподвижной прямой (оси вращения) каждая точка геометрического элемента перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскости вращения). Точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения, а радиус вращения равен расстоянию от вращаемой точки до центра. Если точка находится на оси вращения, то она остается неподвижной.

Вращение точки вокруг проецирующих прямых. На рис. 3.9 точка , вращаясь вокруг оси , описывает окружность, плоскость а которой перпендикулярна . Центр окружности (центр вращения) расположен в точке пересечения оси вращения с плоскостью , а радиус вращения равен длине отрезка .

Так как плоскость вращения параллельна плоскости , то проекция траектории вращающейся точки на плоскость представляет собой окружность радиуса , а на плоскость — отрезок прямой, параллельной оси . Через обозначено новое положение точки , которое она занимает после поворота на угол .

На рис. 3.10 приведен ортогональный чертеж точки , вращающейся вокруг горизонтально-проецирующей оси . После поворота на угол точка займет новое положение ( — плоскость вращения, — центр вращения, — радиус вращения).

Если ось вращения расположена перпендикулярно плоскости (рис. 3.11), то фронтальная проекция точки будет перемещаться по окружности, а горизонтальная — по прямой, перпендикулярной линиям связи. Новое положение точки, которое она занимает после поворота на угол — точка . Плоскость вращения — фронтальная плоскость .

Для поворота отрезка прямой на заданный угол необходимо повернуть на этот угол две точки, определяющие отрезок. Каждая из этих точек вращается в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и будет иметь свой радиус вращения.

Плоскопараллельное перемещение отрезка

При плоскопараллельном перемещении все точки геометрической фигуры движутся в плоскостях, параллельных плоскости проекций, т. е. сохраняется основной принцип вращения вокруг проецирующих осей. На рис. 3.12 приведено наглядное изображение плоскопараллельного перемещения отрезка .

На рис. 3.12, а дано исходное положение отрезка — прямой, занимающей относительно плоскостей проекций общее положение. На рис. 3.12, б отрезок перемещен в новое положение, при этом точка движется в плоскости , точка — в плоскости . Обе плоскости параллельны горизонтальной плоскости проекций.

При таком перемещении угол наклона отрезка к плоскости сохраняется неизменным, поэтому не изменяется и длина горизонтальной проекции отрезка, т. е. . Последнее свойство имеет важное значение для решения задач.

На рис. 3.13 приведен пример плоскопараллельного перемещения отрезка в новое положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. На этом чертеже отрезок перемещается в новое положение параллельно фронтальной плоскости проекций. При этом сначала перемещается в новое положение, параллельное оси , горизонтальная проекция отрезка, причем . Затем по линиям связи строится фронтальная проекция .

После перемещения отрезка в новое положение он станет параллельным плоскости и его новая фронтальная проекция будет равна натуральной величине. Соответственно, угол наклона проекции к оси проекций будет равен углу наклона отрезка к плоскости .

На рис. 3.14 приведено двойное плоскопараллельное перемещение отрезка с целью преобразования его в фронтально-проецирующее положение. Вначале произведено перемещение фронтальной проекции в положение, параллельное оси , причем . Отрезок занял положение, параллельное плоскости , и его горизонтальная проекция равна длине отрезка. Затем горизонтальная проекция перемещается в положение, перпендикулярное оси , причем .

Отрезок занял фронтально-проецирующее положение и его фронтальная проекция .

На рис. 3.15 показано перемещение треугольника , расположенного в плоскости общего положения, в положение плоскости уровня. При первом движении треугольник переводится во фронтально-проецирующее положение. Для этого в плоскости треугольника строится горизонтальная прямая , затем горизонтальная проекция перемещается в проецирующее положение (на свободном поле чертежа проводится отрезок перпендикулярно оси ).

В процессе перемещения размеры и форма горизонтальной проекции треугольника не изменяются. Построение вершин и выполняется засечками с помощью циркуля. Все вершины треугольника на фронтальной плоскости проекций перемещаются по горизонтальным линиям связи, пересечение которых с линиями связи, проведенными из соответствующих вершин новой горизонтальной проекции треугольника , образует новую фронтальную проекцию , перпендикулярную фронтальной плоскости проекций.

При втором движении все точки треугольника перемещаются в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, в результате чего он займет положение горизонтальной плоскости уровня и его вырожденная фронтальная проекция расположится перпендикулярно линиям связи, оставаясь неизменной по длине. Новая горизонтальная проекция треугольника будет равна его натуральной величине.

Задачи с решением №4

Задача №1.

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми и (рис. 3.16).

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется длиной перпендикуляра, общего к заданным прямым. Для решения задачи используем способ замены плоскостей проекций

Если в результате преобразования одна из прямых займет положение проецирующей относительно какой-либо плоскости проекций, т. е. будет представлять собой точку, то перпендикуляр, опущенный из этой точки на другую прямую, будет параллелен этой плоскости проекций и спроецируется на нее в натуральную величину. Прямая преобразуется в проецирующую двойной заменой плоскостей проекций.

Сначала построим проекции и на плоскости , расположенной параллельно прямой (проводим ).

Затем найдем проекции прямых и на плоскость , перпендикулярную прямой . На плоскость прямая спроецируется в точку ( ), а расстояние между нею и проекцией (отрезок ) будет искомой натуральной величинои расстояния между заданными прямыми.

Далее путем обратного проецирования строим проекцию отрезка на плоскость , при этом точку находим, проведя перпендикуляр из точки к проекции . Прямой угол здесь на искажается, так как проекция параллельна плоскости . С помощью линий связи находим проекции отрезка сначала на плоскости а затем на плоскости .

Задача №2.

Повернуть точку вокруг оси до совмещения ее с плоскостью общего положения, заданной пересекающимися прямыми ВС и CD (рис. 3.17).

Решение:

Точка вращается вокруг оси , перпендикулярной к плоскости проекций . Через точку проведена плоскость , перпендикулярная к оси вращения и, следовательно, параллельная . Горизонтальная плоскость пересекает заданную () по горизонтали . При вращении точка описывает окружность радиуса , величина которого определяется длиной перпендикуляра, проведенного из точки на ось.

Окружность проецируется на плоскость без искажения и пересекается с проекцией горизонтали в точках и , которые являются горизонтальными проекциями точки , т. е. задача имеет два решения.

По линиям связи находим фронтальные проекции точек и , лежащих на горизонтали .

Вопросы для контроля

1. Сформулируйте основные задачи преобразования чертежа.
2. Перечислите способы преобразования чертежа.
3. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?
4. Как перемещаются проекции точки при вращении ее вокруг проецирующих осей?
5. В чем заключается способ плоскопараллельного перемещения?

Многогранники

Одним из видов пространственных форм являются многогранники — замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Эти многоугольники образуют грани. Общие стороны многоугольников называются ребрами’, вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящихся в одной точке, — вершинами многогранника. Наибольший практический интерес представляют собой призмы, пирамиды и правильные многогранники.

Призма — многогранник, две грани которого представляют равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами (основаниями) (рис. 4.1). Ребра, не принадлежащие основаниям и параллельные друг другу, называют боковыми. Призму, ребра которой перпендикулярны к основаниям, называют прямой. Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Пирамида — многогранник, одна грань которого — плоский -угольник (основание), а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 4.2). Если основанием пирамиды является правильный многоугольник и высота ее проходит через центр этого многоугольника, пирамиду называют правильной.

Многогранник называют правильным, если его грани представляют собой правильные и равные многоугольники.

Точка и прямая линия на поверхности многогранника

Точки на гранях призмы и пирамиды строятся при помощи вспомогательных прямых, принадлежащих соответствующим плоскостям граней. Чтобы определить по заданной фронтальной проекции точки 1, лежащей на грани призмы , горизонтальную проекцию (рис. 4.3), нужно провести через точку фронтальную проекцию вспомогательной прямой , параллельную ребрам призмы.

Фронтальная проекция точки 2, лежащей на грани , построена с помощью вспомогательной прямой , проведенной через проекцию . Недостающую проекцию точки 3, расположенную на ребре определим с помощью линии связи.

На рис. 4.4 показано построение недостающих проекций точек, находящихся на боковой поверхности пирамиды . Фронтальная проекция точки 1, расположенная на грани , представляющей собой профильно-проецирующую плоскость, построена с помощью линий связи.

Чтобы определить по заданной проекции точки 2, лежащей на грани , проекцию (рис. 4.4), используем горизонталь .

Фронтальная проекция горизонтали проведена через проекцию до пересечения с проекцией ребра в точке .

Горизонтальная проекция горизонтали проходит через точку параллельно проекции стороны .

Чтобы определить по заданной проекции точки , расположенной на грани , проекцию , используем прямую . Фронтальная проекция точки 4, расположенной на ребре , построена с помощью линий связи.

Пересечение многогранников плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается многоугольник.

Определение вершин многоугольника сводится к построению точек пересечения прямых (ребер многогранника) с плоскостью — способ ребер. При определении сторон многоугольника решаются задачи на пересечение двух плоскостей — способ граней.

На рис. 4.5 показано построение проекций линии пересечения прямой четырехугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью (проекция ).

Пересечение проекции а» с фронтальными проекциями боковых ребер призмы дает проекции вершин многоугольника сечения. Горизонтальные проекции этих вершин совпадают с «вырожденными» проекциями соответствующих ребер, так как призма прямая. Профильные проекции вершин определим при помощи горизонтальных линий связи на соответствующих проекциях ребер призмы.

Натуральная величина многоугольника еечения найдена способом плоскопараллсльного перемещения. Переместим фронтальную проекцию сечения в горизонтальное положение.

Проекция — натуральная величина многоугольника сечения.

Развертка поверхности призмы

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью (без наложения элементов поверхности друг на друга).

Развертки необходимы при изготовлении изделий из листового материала. Построение разверток поверхностей многогранников рассмотрим на примерах призмы и пирамиды.

Развертка боковой поверхности призмы, представленной на рис. 4.5, состоит из четырех прямоугольников, у которых одна сторона равна высоте призмы, а другие стороны равны сторонам основания призмы (рис. 4.6).

Для построения развертки боковой поверхности усеченной призмы наносим на развертку точки расположенные на соответствующих ребрах. Чтобы получить полную развертку усеченной части призмы, к одному из участков линии пересечения пристраиваем натуральную величину сечения.

Развертку усеченной части призмы обводим сплошной толстой основной линией, линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией. Достроив к сторонам прямоугольника верхнее и нижнее основание призмы, получим полную развертку ее поверхности.

Пересечение пирамиды проецирующей плоскостью

На рис. 4.7 приведено построение проекций линии пересечения четырехугольной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью .

Фронтальные проекции вершин многоугольника сечения находятся в пересечении следа-проекции плоскости с фронтальными проекциями боковых ребер пирамиды. Проекции и точек 2 и 3, лежащих на ребрах и , совпадают, так как грань является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальные и профильные проекции точек 1, 2, 3, 4 определяются по линиям связи на соответствующих ребрах пирамиды. Натуральная величина многоугольника сечения найдена способом перемены плоскостей проекций. Это четырехугольник .

Развертка поверхности пирамиды

Развертка боковой поверхности пирамиды состоит из четырех треугольников — боковых граней пирамиды (рис. 4.8). Для построения развертки необходимо знать натуральную величину всех фигур, составляющих развертку.

В данном случае одна из сторон боковых граней определяется натуральной величиной горизонтальной проекции ребра основания пирамиды, поскольку основание пирамиды занимает горизонтальное положение. На рис. 4.7 видно, что ребро параллельно фронтальной плоскости, следовательно проекция — его истинная величина. Для определения натуральной величины других боковых ребер используем способ вращения вокруг оси, проходящей через вершину перпендикулярно плоскости .

Поворачиваем ребра до положения, параллельного плоскости . Длины проекций являются натуральными длинами соответствующих ребер.

На рис. 4.8 представлено построение полной развертки усеченной пирамиды. Вначале на плоскости чертежа строим треугольники — боковые грани пирамиды — по трем сторонам, последовательно достраивая треугольники друг к другу боковыми ребрами. Пристроив к стороне одного из треугольников четырехугольное основание пирамиды, получим полную развертку ее поверхности.

Чтобы выделить на развертке усеченную часть пирамиды, находим положение вершины фигуры сечения на ребре . Зная натуральную величину многоугольника сечения , последовательно засекаем на ребрах развертки точки и , используя величину сторон многоугольника сечения.

Полученные на развертке точки соединяем отрезками прямых. Пристраиваем затем натуральную величину сечения к одному из участков линии пересечения . Полученную полную развертку поверхности усеченной пирамиды обводим сплошной толстой основной линией, а линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией.

Задача с решением №5

Задача №1.

Правильная треугольная пирамида усечена двумя плоскостями: фронтально-проецирующей и профильной (рис. 4.9). Построить недостающие проекции усеченной пирамиды.

Решение:

Плоскость а пересекает грань по отрезку 1-2, грань по отрезку 2-3, грань по отрезку 1-4.

Плоскость р пересекает грань по отрезку 3-5, а грань по отрезку 4-5. При построении проекций точек, принадлежащих линии пересечения, следует учитывать, что профильные проекции и ‘ совпадают, так как грань SAB пирамиды является профильно-проецирующей плоскостью.

Недостающие проекции точки 1, расположенной на ребре , и точки 5, расположенной на ребре , построены при помощи линий связи. Проекции точки 2, расположенной на ребре , определены при помощи линий связи сначала на профильной проекции ребра, а затем на горизонтальной.

Горизонтальные проекции точек 3 и 4 получены с помощью вспомогательной прямой , принадлежащей грани , и прямой , принадлежащей грани .

Построив горизонтальные проекции и этих прямых, по линии связи определим горизонтальные проекции точек 3 и 4, а затем их профильные проекции.

Плоскости и пересекаются по фронтально-проецирующей прямой 3-4. Соединив построенные проекции точек, получим проекции линии пересечения.

Вопросы для контроля

1. Какая фигура называется многогранником?
2. Дайте определение призмы, пирамиды, правильного многогранника.
3. Как определить недостающую проекцию точки на поверхности многогранника?
4. Что представляет собой сечение многогранника плоскостью?
5. В чем различие способов ребер и граней?
6. Как используется способ перемены плоскостей проекций при построении сечения многогранника плоскостью?

Поверхности вращения

Поверхность вращения (рис. 5.1) получается вращением прямолинейной или криволинейной образующей вокруг неподвижной прямой — оси поверхности. За ось вращения обычно принимается вертикальная прямая. Каждая точка образующей (например, точка ) описывает при своем вращении окружность с центром на оси . Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из этих параллелей — экватор, наименьшая — горло.

Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по меридианам. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной , называется главным.

Поверхность вращения называют закрытой, если криволинейная образующая пересекает ось поверхности в двух точках. Если образующая — прямая линия, то получается линейчатая поверхность вращения, если кривая — нелинейчатая.

Замкнутую область пространства вместе с ее границей (поверхностью) называют геометрическим телом.

Цилиндр вращения (рис. 5.2) образуется вращением прямой вокруг параллельной ей оси . Все точки образующей (например, точка ) описывают окружности (параллели), равные окружностям оснований цилиндра.

Конус вращения (рис. 5.3) образуется вращением прямой вокруг пересекающейся с ней оси . Все точки образующей описывают окружности различных радиусов (для точки — радиус ). Величина радиуса изменяется от нуля до радиуса окружности основания конуса.

Сфера (рис. 5.4) образуется вращением окружности вокруг ее оси . Каждая точка образующей сферы при таком перемещении описывает свою окружность, радиус которой уменьшается при перемещении точки к полюсам. Например, точка описывает параллель наибольшего радиуса (экватор). Для сферы экватор и меридианы — равные между собой окружности.

Построение точек лежащих на поверхности вращения

Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии, лежащей на этой поверхности. В качестве таких линий могут быть выбраны образующие, параллели, меридианы и др. На рис. 5.5 показано построение проекций точек и , принадлежащих боковой поверхности цилиндра.

Горизонтальные проекции точек и ( и ) лежат на окружности. Профильные проекции этих точек и находятся при помощи линий связи.

Очерковые (крайние) образующие цилиндра разделяют фронтальную и профильные проекции на видимую и невидимые части. Так, образующие и делят цилиндрическую поверхность на видимую спереди и невидимую, образующие и — на видимую слева и невидимую. Невидимые проекции точки В указаны в скобках.

На рис. 5.6, а показано построение горизонтальной и профильной проекций точки по заданной фронтальной проекции на поверхности конуса.

Если задана горизонтальная проекция точки (рис. 5.6, а), то построение начинается с проведения горизонтальной проекции образующей , на которой находится точка . Определив фронтальную проекцию этой образующей, по линиям связи находим фронтальную проекцию точки , а затем и профильную .

Образующие и разделяют коническую поверхность на видимую спереди и невидимую, а образующие и — на видимую слева и невидимую.

Проекции и находятся на невидимой части конуса. Горизонтальная проекция поверхности конуса является видимой.

На рис. 5.6, б показано построение недостающих проекций точек и при помощи параллелей. Через заданные проекции и проводятся проекции и параллелей и . Используя точки 1 и 2, лежащие на очерковых образующих, определим положение проекций и проведенных параллелей. По линиям связи найдем положение проекций и точки и проекций и точки .

На рис. 5.7 приведены проекции сферы, которые ограничены экватором , фронтальным меридианом и профильным . Каждый из них проецируется на соответствующую плоскость проекций в виде окружности, на остальные — в виде отрезков прямых длиной, равной диаметру сферы. На этом же рисунке показано построение недостающих проекций точек , и по заданным фронтальным проекциям этих точек. Точка находится на экваторе , точка — на фронтальном меридиане , точка — на профильном меридиане . Недостающие проекции определяются по линиям связи. Направление построений указано стрелками.

Экватор разделяет сферу на видимую (верхняя половина на фронтальной проекции) и невидимую части на горизонтальной проекции. Фронтальный меридиан разделяет сферу на видимую (нижняя половина горизонтальной проекции) и невидимую части на фронтальной проекции.

Профильный меридиан п разделяет сферу на видимую (левая половина на фронтальной проекции) и невидимую части на профильной проекции.

Так, на рис. 5.7 горизонтальная проекция точки невидимая (взята в скобки), так как находится на нижней (невидимой) половине сферы. На поверхности сферы можно провести множество параллелей, соответствующих плоскостям проекций. Эти параллели используются для построения проекций точек на сфере.

По фронтальной проекции точки найдена горизонтальная как принадлежащая горизонтальной параллели . Для построения горизонтальной проекции использована точка 1, принадлежащая фронтальному меридиану. Профильная проекция точки построена при помощи линий связи и находится на невидимой (правой половине) части сферы.

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую. Для построения этой кривой линии на чертеже находят проекции ее отдельных точек, соединяемых с помощью лекала.

Для нахождения точек линии пересечения применяются вспомогательные секущие плоскости (проецирующие или плоскости уровня). Вспомогательные плоскости выбираются так, чтобы в пересечении с кривой поверхностью получались простейшие линии — прямые и окружности. Задача на построение линии пересечения кривой поверхности плоскостью значительно упрощается, если заданные секущие плоскости являются плоскостями частного положения.

Пересечение цилиндра плоскостью

При пересечении цилиндра вращения плоскостью возможны случаи:

1. секущая плоскость параллельна оси — в сечении цилиндрической поверхности получаются две прямые (образующие) (рис. 5.8, я);
2. секущая плоскость перпендикулярна оси — в сечении получается окружность, равная окружностям оснований (рис. 5.8, б);
3. секущая плоскость наклонна к оси — в сечении получается эллипс, малая ось которого всегда равна диаметру цилиндра, а большая зависит от угла (рис. 5.8, в).

Пример модели цилиндра, усеченного плоскостями, приведен здесь. На рис. 5.9 показано построение проекций цилиндра вращения, усеченного плоскостями частного положения

Горизонтальная плоскость пересекает поверхность цилиндра по части окружности, профильная плоскость — по прямым и (образующим цилиндра), фронтально-проецирующая плоскость — по части эллипса. Фронтальная проекция линий пересечения совпадает со следами-проекциями секущих плоскостей , а горизонтальная -с окружностью основания цилиндра.

Построение профильной проекции сводится к построению профильных проекций точек по двум заданным (направление линий связи указано стрелками).

Обычно для построения точек линий сечения пользуются образующими, равноотстоящими друг от друга. Поэтому горизонтальная проекция цилиндра (окружность) разделена на 12 частей (точки 1,2, …, 12). Этой равномерной «разметкой» удобно пользоваться для создания не только проекций сечений, но и развертки.

Развертка поверхности цилиндра

Для построения развертки поверхности вращения, усеченной плоскостями, используется соответствующая многогранная фигура, вписанная в эту поверхность. Развертка получается приближенной, погрешность определяется количеством сторон многоугольника, вписанного в основание поверхности.

Построение развертки боковой поверхности цилиндра, приведенного на рис. 5.9, начинают с вычерчивания горизонтальной прямой, на которой откладывают длину окружности основания и делят ее, например, на 12 равных частей. Из точек деления проводят перпендикуляры к отрезку (рис. 5.10) и на них откладывают длины образующих от основания цилиндра до секущих плоскостей и .

Для построения точек на развертке использовано расположение этих точек на горизонтальной проекции цилиндра (от точек деления откладывают длины дуг и ). Точки соединены прямыми линиями. Точки соединяют плавной линией. К верхней части боковой развертки достраивают натуральные фигуры сечения плоскостями (часть эллипса, прямоугольник, сегмент окружности).

Пересечение конуса плоскостью

При пересечении конуса получаются различные виды кривых второго порядка.

1. Эллипс () — секущая плоскость пересекает весь конус (рис. 5.11).
2. Окружность — секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (рис. 5.12).
3. Парабола — секущая плоскость параллельна образующей конуса (рис. 5.13).

1. Гипербола — плоскость параллельна двум образующим конуса (рис. 5.14).
2. Прямые линии — секущая плоскость проходит через вершину конуса (рис. 5.15).

На примере здесь показана последовательность построения линий пересечения конуса плоскостями.

На рис. 5.16 показано построение проекций усеченного конуса вращения плоскостями частного положения и .

Конус пересекают фронтально-проецирующие плоскости и . Фронтальная проекция линий пересечения совпадает с проекциями этих плоскостей.

Для построения точек линий сечения использованы образующие, равноотстоящие друг от друга. Поэтому горизонтальная проекция основания конуса (окружность) разделена на 12 равных частей (точки I, II, …, XII). Это позволяет использовать равноотстоящие образующие для построения развертки конуса.

Фронтальные проекции образующих пересекают проекцию в точках . Эти точки по линиям связи находятся на горизонтальных проекциях образующих, причем точки 4 и 10 определяются на профильной проекции, а затем на горизонтальной.

Вспомогательная плоскость пересекает плоскость а по фронтально-проецирующей прямой, а конус — по окружности радиуса . В пересечении прямой и дуги радиуса определим горизонтальные проекции и .

Построения профильных проекций точек эллипса () сводится к построению проекций точек по двум заданным (по линиям проекционной связи).

Для построения точек, принадлежащих гиперболе, использованы точки и , находящиеся на образующих II и XII, а также точки и , принадлежащие вспомогательной горизонтальной плоскости .

Построение развертки конуса

Построение развертки начинают с проведения из точки (рис. 5.17) дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса .

Длина дуги определяется центральным углом :

где — диаметр окружности основания конуса; — длина образующей.

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с точкой . От вершины на образующих откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущих плоскостей. Действительные длины данных отрезков находят способом вращения их вокруг оси конуса. Для этого достаточно из фронтальных проекций точек фигур сечений провести горизонтальную прямую до пересечения с контурной образующей конуса, являющейся действительной ее длиной.

Для построения точек и , лежащих на основании конуса, следует отложить от точек III и XI соответствующие дуги (эти дуги на рис. 5.16 и 5.17 отмечены одной черточкой-штрихом).

Для построения точек и на развертке находят положения образующих, на которых есть эти точки, откладывая от точек II и XII соответствующие дуги (эти дуги отмечены двумя черточками-штрихами). Положение точек и на образующих находим, используя действительные длины отрезков и .

Для получения полной развертки пристраивают к развертке боковой поверхности часть основания конуса и натуральные величины сечений.

Натуральная величина эллипса построена по его осям (использован способ перемены плоскостей проекций), натуральная величина сечения профильной плоскостью находится на профильной проекции (рис. 5.16).

Вопросы для контроля

1. Какие линии получаются при пересечении цилиндра плоскостью?
2. Какие линии получаются при пересечении конуса плоскостью?
3. Какие поверхности вращения являются развертывающимися?
4. Как построить развертку цилиндра?
5. Какой метод используется для построения развертки конуса?

Пересечение прямой линии с многогранниками и поверхностями вращения

Точки пересечения прямой линии с геометрическими телами называют также точками встречи, одна из них является точкой входа, другая — точкой выхода.

Частные случаи определения точек пересечения

Частный способ определения указанных точек основывается на том, что пересекаемая грань перпендикулярна плоскости проекций, т. е. ее проекция представлена на этой плоскости в виде прямой и проекция искомой точки пересечения совпадает с проекцией точки пересечения этой прямой и заданной прямой. Другая проекция определяется по линиям связи из условия принадлежности точки прямой.

На рис. 6.1 показано построение точек пересечения прямых линий и поверхностью четырехугольной прямой призмы. Боковая поверхность призмы — проецирующая (грани перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций). Поэтому горизонтальные проекции точек пересечения находятся на «вырожденных» проекциях боковых граней, представляющих собой прямые линии. Фронтальные проекции этих точек определяются по линиям связи на фронтальных проекциях прямых и . Вторая точка пересечения (точка ) прямой находится на пересечении с верхним основанием призмы, которое является горизонтальной плоскостью. Сначала отмечаем фронтальную проекцию , а затем по линии связи находим горизонтальную .

Видимость фронтальных проекций точек пересечения прямых и определяется видимостью граней, на которых лежат указанные точки. Так, точка лежит на невидимой грани , и поэтому участок прямой от проекции до ребра невидим. Участки прямых, расположенных внутри тел, изображаются невидимыми. Участок горизонтальной прямой от точки видим, так как точка расположена на верхнем основании призмы.

На рис. 6.2 показано построение точек пересечения прямых и с поверхностью цилиндра вращения.

Горизонтальные проекции точек находятся на пересечении окружности (горизонтальной проекции боковой поверхности цилиндра) с проекциями прямых, фронтальная проекция точки — на пересечении горизонтальной плоскости верхнего основания с проекцией прямой.

При определении видимости фронтальных проекций прямых и следует учесть, что проекции и расположены на невидимой части цилиндра и поэтому участки прямых и от проекций и до очерковой образующей невидимы.

Горизонтальная проекция точки расположена на верхнем основании цилиндра, поэтому проекция до точки видима.

На рис. 6.3 показано построение точек пересечения проецирующих прямых и с поверхностью пирамиды. Фронтальные проекции и точек пересечения фронтально-проецирующей прямой совпадают с «вырожденной» проекцией прямой, а горизонтальные проекции находятся на прямых и граней и .

Горизонтальные проекции точек пересечения и горизонтально-проецирующей прямой совпадают с «вырожденной» проекцией прямой, фронтальная проекция точки находится на прямой грани . Точка находится на горизонтальной плоскости основания пирамиды.

На рис. 6.4 показано построение точек пересечения проецирующих прямых и с поверхностью конуса вращения. Проекции и определяются с помощью параллели (окружности радиуса ) конуса, проекция — с помощью образующей . Точка расположена на горизонтальной плоскости основания конуса.

На рис. 6.5 для нахождения горизонтальных проекций точек пересечения проецирующих прямых и с поверхностью сферы использованы параллели (окружности) сферы. Точки и находятся на параллели радиуса , а точки и — на параллели радиуса . Точки пересечения расположены на видимых участках проекций сферы.

Определение точек пересечения прямой с поверхностью

В общем случае точки пересечения прямой линии с поверхностью геометрических тел находятся следующим образом:

• через данную прямую проводится вспомогательная плоскость;
• строится линия пересечения геометрического тела вспомогательной плоскостью;
• определяются точки пересечения построенной линии и заданной прямой. Эти точки являются искомыми;
• определяется видимость участков прямой линии.

Вспомогательную секущую плоскость выбирают так, чтобы она пересекала поверхность геометрического тела по линии, легко определяемой на чертеже, например состоящей из прямых или окружностей. Обычно в качестве вспомогательной плоскости выбирают проецирующую плоскость, проходящую через заданную прямую.

На рис. 6.6 показано нахождение точек пересечения прямой общего положения с поверхностью пирамиды .

Через прямую проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость , пересекающая поверхность пирамиды по линии 1-2-3. На пересечении этой линии с прямой находятся искомые точки пересечения. Видимость участков прямой линии определяется видимостью граней, на которых лежат точки пересечения и . Так, на горизонтальной проекции (рис. 6.6, б) точки и расположены на видимых проекциях и граней и , а на фронтальной проекции точка лежит на невидимой грани . Поэтому участок фронтальной проекции от до ребра невидим.

Для нахождения точек пересечения конуса вращения с горизонтальной прямой (рис. 6.7) использована вспомогательная горизонтальная плоскость пересекающая конус по окружности. На рис. 6.8 для определения точек пересечения сферы с фронтальной прямой использована фронтальная плоскость . В заключение определяется видимость участков прямых относительно точек пересечения.

Вопросы для контроля

1. Поясните способ определения точек пересечения прямой с поверхностью геометрических тел.
2. С помощью каких преобразований можно упростить задачу построения точек пересечения прямой общего положения с конусом?

Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел

Линия пересечения поверхностей геометрических тел в общем случае является пространственной и может распадаться на две и более частей. Линию пересечения строят по точкам, которые подразделяются на характерные (опорные) и промежуточные.

Общим способом построения этих точек является способ вспомогательных секущих плоскостей. При пересечении заданных поверхностей вспомогательной плоскостью определяются линии пересечения ее с данными поверхностями, а в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

В качестве вспомогательных секущих плоскостей чаще всего используют плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций. Положение их выбирают такое, чтобы они пересекали заданные поверхности по простейшим линиям — прямым или окружностям.

Построение линии пересечения многогранников

При решении задач используется один из следующих способов:

1. способ ребер (пересечение прямой линии с плоскостью);
2. способ граней (взаимное пересечение плоскостей).

Преимущество отдается тому из способов, который дает более простое решение.

Рассмотрим построение линии пересечения пирамиды с призмой (рис. 7.1).

Грань призмы — горизонтальная плоскость , пересекающая боковую поверхность пирамиды по ломаной линии, звенья которой параллельны сторонам основания пирамиды. По фронтальной проекции точки , расположенной на ребре пирамиды, найдем ее горизонтальную проекцию и, проведя звенья ломаной линии, определим точки

Горизонтальные проекции и точек пересечения ребер и с гранями призмы определяются с помощью линий связи. Горизонтальные проекции и точек пересечения ребра призмы с поверхностью пирамиды определим с помощью горизонтальной плоскости , проведенной через ребро призмы. Плоскость пересекает поверхность пирамиды по линиям, параллельным сторонам основания пирамиды. Спроецировав точку , лежащую на ребре пирамиды, через проекцию проведем линии, параллельные

и . Эти линии пересекаются с горизонтальной проекцией ребра призмы в точках и .

На рис. 7.2 показано построение линии пересечения двух призм, боковые поверхности которых являются проецирующими.

Рассматривая положение горизонтальных и профильных проекций многогранников, отмечаем, что призма пересекает боковую поверхность призмы . При пересечении получаются две замкнутые ломаные линии: одна из них — пространственная (пересекаются две грани призмы ), другая — плоская (пересекается одна грань).

Горизонтальная проекция линий пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикальной призмы, а профильная — с профильной проекцией горизонтальной призмы. Отмечая точки пересечения горизонтальных проекций ребер с горизонтальной проекцией призмы при помощи линий связи находим их фронтальные проекции.

Фронтальные проекции точек пересечения ребра с боковой поверхностью призмы определим по линиям связи, используя их профильные проекции и . Последовательно соединяя найденные точки пересечения, принадлежащие одним и тем же граням, построим две ломаные линии 1-3-8-5-7-1 и 2-4-6-2.

Построение линии пересечения поверхностей вращения с многогранниками

Линия пересечения многогранника с телом вращения в общем случае состоит из отдельных участков кривых линий, получающихся при пересечении граней многогранника с поверхностью вращения. Точки перехода от одного участка к другому находятся на пересечении ребер многогранника с телом вращения.

Пример пространственной модели конуса, пересекающегося с треугольной призмой.

Последовательность операций при построении линии пересечения на чертеже следующая:

• определяются точки пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;
• находятся точки, принадлежащие линиям пересечения отдельных граней многогранника с телом вращения. Построение начинают с определения характерных (опорных) точек линии — высшие и низшие, ближайшие и наиболее удаленные, крайние слева и справа и т. д. Точки определяются визуально по чертежу;
• определяется видимость проекций участков линии пересечения.

Рассмотрим построение линии пересечения поверхности прямой трехгранной призмы с поверхностью цилиндра вращения (рис. 7.3). Боковые грани призмы являются горизонтально-проецирующими плоскостями, а ось цилиндра перпендикулярна профильной плоскости проекций.

При построении точек линии пересечения многогранников с телами вращения используют вспомогательные секущие плоскости. Их располагают так, чтобы они пересекали данные поверхности по простым линиям (прямым или окружностям).

Грань призмы параллельна оси цилиндра и пересекает поверхность цилиндра по прямой 2-3 (образующая цилиндра).

Грани и наклонены к оси цилиндра и пересекают его поверхность по кривым (частям эллипсов).

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковой поверхности призмы, а профильная проекция совпадает с проекцией боковой поверхности цилиндра.

Характерными точками линии пересечения являются точки пересечения 1, 2, 3 ребер призмы с поверхностью цилиндра (фронтальные проекции этих точек определяем с помощью линий связи, проведенных через их профильные проекции). Точки 4 и 5 разделяют фронтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части.

Построение промежуточных точек 6, 7, 8, 9 выполняем следующим образом. На одной из имеющихся проекций линии пересечения (горизонтальной или профильной) намечаем проекции точек и с помощью линий связи строим недостающие проекции.

По построенным точкам проводим фронтальную проекцию линии пересечения. Видимой является часть , расположенная на видимой проекции цилиндра. Часть фронтальных проекций ребер и закрывается очерком цилиндра.

На рис. 7.4 приведено построение линии пересечения сферы с прямой трехгранной призмой. Боковые ребра призмы перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций. Характерными точками линии пересечения являются точки 1 и 2 — точки пересечения ребер призмы со сферой (обозначение точек линии пересечения приведено лишь на одной симметричной части). Для построения этих точек использованы фронтальные плоскости и , проведенные через ребра призмы и пересекающие сферу по окружностям радиусов и .

Фронтальную проекцию точки 1 можно определить и по профильной проекции с помощью линий связи. Так как грань призмы является фронтальной плоскостью, то плоскость позволяет определить дугу окружности, по которой она пересекает сферу. Точка 3 — высшая точка этой дуги.

Грани и призмы пересекают сферу по дугам окружностей, которые на фронтальную и профильную плоскости проекций проецируются в виде частей эллипсов. Фронтальная проекция линии пересечения этих граней представляет собой две симметричные части, а профильные проекции совпадают.

Характерными точками фронтальной проекции линии пересечения являются также точки и . Точка 4 разделяет линию на видимую и невидимую части, точка 5 — высшая точка линии пересечения. Проекция находится на очерке сферы — фронтальном меридиане, проекция определена с помощью фронтальной плоскости .

Для построения промежуточных точек и фронтальной проекции использованы фронтальные плоскости и . Каждая из фронтальных плоскостей пересекает сферу по окружности определенного радиуса, а призму — по горизонтально-проецирующим прямым.

Видимой частью фронтальной проекции линии пересечения является часть эллипса , на профильной проекции симметричные части линии пересечения изображаются видимой линией. На фронтальной проекции части ребер и закрываются контуром сферы.

Построение линии пересечения поверхностей вращения

Линия пересечения двух поверхностей вращения в общем случае представляет пространственную кривую. Здесь приведен пример модели пересекающихся конуса и цилиндра. Линию пересечения поверхностей на чертеже строят по точкам.Общим способом построения является способ вспомогательных секущих поверхностей. В качестве поверхностей-посредников применяются плоскости или сферы.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Если одна из поверхностей является цилиндрической проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с окружностью — проекцией цилиндра на перпендикулярную плоскость проекций.

На рис. 7.5 показано построение линии пересечения двух цилиндров вращения, оси которых скрещиваются. Ось горизонтального цилиндра — профильно-проецирующая, а ось вертикального — горизонтально-проецирующая.

Линией пересечения цилиндров является пространственная кривая, горизонтальная проекция которой совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией вертикального цилиндра. Отмстим на этой окружности точки, принадлежащие линии пересечения: опорные 1, 2, 3, 4, лежащие на крайних образующих цилиндров, и промежуточную 5. Точки обозначены только на одной симметричной части линии пересечения.

Фронтальные проекции точек лежащие на ближней, верхней и нижней образующих горизонтального цилиндра, определяем с помощью линий связи.

Для построения фронтальных проекций точек использованы вспомогательные фронтальные плоскости пересекающие оба цилиндра по образующим. Положение образующих вертикального цилиндра найдем по их горизонтальным

проекциям при помощи вертикальных линий связи. Для построения образующих горизонтального цилиндра использована его профильная проекция.

На рис. 7.6 показано построение линии пересечения конуса вращения и цилиндра вращения, у которых оси скрещиваются под прямым углом. Линией пересечения указанных тел является пространственная кривая, фронтальная проекция которой совпадает с окружностью цилиндра. Отметим здесь точки линии пересечения: опорные (1, 2, 3, 4, 5, 6) и промежуточные (7, 8, 9). Горизонтальные проекции точек 1 и 2 определим с помощью линий связи. Для построения горизонтальных проекций точек 3 и 4 использованы вспомогательные плоскости и .

Плоскость пересекает цилиндр по крайней левой образующей, а конус — по окружности (параллели) радиуса , пересечение которых определяет горизонтальную проекцию точки 3.

Плоскость , касающаяся цилиндра по его нижней образующей, позволяет построить горизонтальную проекцию точки 4. Подобным образом с помощью горизонтальных плоскостей и находятся горизонтальные проекции точек 5 и 6, расположенных на ближней образующей конуса, а также горизонтальные проекции промежуточных точек 7, 8, 9.

Видимой частью горизонтальной проекции линии пересечения является линия , принадлежащая верхней части цилиндра.

На примере здесь приведена пространственная модель конуса с цилиндрическим отверстием.

На рис. 7.7 показано построение линии пересечения полусферы с цилиндром вращения. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией цилиндра. Отметим на этой окружности опорные точки линии пересечения и промежуточные .

Точки и (низшая и высшая точки) расположены в горизонтально-проецирующей плоскости , горизонтальный след-проекция которой пройдет через горизонтальные проекции и осей тел вращения.

Чтобы определить фронтальные проекции и этих точек, повернем плоскость с лежащими на ней линиями сечения сферы и цилиндра вокруг оси сферы до фронтального положения. Новое положение образующих цилиндра и контура сферы на плоскости проекций даст точки и , по которым определяем проекции и .

Фронтальные проекции точек и , расположенных на фронтальном меридиане сферы, определим с помощью линий связи.

Для построения фронтальных проекций опорных точек размещенных на крайних образующих цилиндра, и точек находящихся на профильном меридиане сферы, использованы вспомогательные фронтальные плоскости . Фронтальные проекции промежуточных точек построены с помощью фронтальных плоскостей и . Эти плоскости пересекают цилиндр по образующим — прямым, а полусферу — по полуокружности. Так, вспомогательная плоскость пересекает цилиндр по образующим, а полусферу — по дуге радиуса .

Пересечение фронтальных проекций указанных линий сечения и даст точки и . Видимой частью фронтальных проекции является линия , принадлежащая видимой (передней) части цилиндра.

Способ вспомогательных сфер

В некоторых случаях для построения линии пересечения двух поверхностей вращения целесообразно применять в качестве секущих поверхностей сферы. Этот способ основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы, по окружности.

Чтобы сфера одновременно пересекала две поверхности по окружностям, необходимо выполнить следующие условия:

1. оси поверхностей вращения должны пересекаться (точку пересечения принимают за центр вспомогательных концентрических сфер);
2. оси поверхностей вращения должны располагаться параллельно какой-либо плоскости проекций.

На рис. 7.8 показано построение линии пересечения двух конусов с пересекающимися осями, параллельными плоскости .

Линия пересечения — симметричная пространственная кривая. Фронтальные проекции симметричных половин совпадают и образуют кривую 2-го порядка. Точки 1 и 2, находящиеся в пересечении образующих конусов, очевидны. Остальные точки определены с помощью вспомогательных сфер с центром в точке — точке пересечения осей конусов. С помощью сферы Сф. 1 (наименьшей из всех возможных) построена крайняя левая точка фронтальной проекции линии пересечения.

Эта сфера касается поверхности конуса с вертикальной осью по окружности радиуса и пересекает другой конус по окружности радиуса . В пересечении этих окружностей получается фронтальная проекция . Для определения фронтальной проекции точки 4, расположенной на ближайшей образующей конуса с горизонтальной осью, использована сфера Сф. 2.

Радиус этой сферы подобран так, чтобы окружность пересечения ее с поверхностью вертикального конуса лежала в плоскости С помощью сферы Сф. 3 определена фронтальная проекция точки 5.

Применение способа сфер позволяет построить линию пересечения поверхностей вращения, пользуясь только одной проекцией.

Особые случаи пересечения

При пересечении между собой кривых поверхностей линиями пересечения являются пространственные кривые, которые в ряде случаев могут распадаться на более простые линии. Рассмотрим несколько таких примеров.

1. Два цилиндра с параллельными осями пересекаются по образующим.

На рис. 7.9 изображены пересекающиеся между собой цилиндры вращения с параллельными осями. Линиями пересечения являются общие образующие и .

1. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

На рис. 7.10 изображены пересекающиеся между собой цилиндр и конус, касающиеся сферы радиуса . Линии касания -окружности, плоскости которых параллельны фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Плоскости касания пересекаются между собой по фронтально-проецирующей прямой . Фронтальная проекция линии пересечения — два эллипса, плоскости которых проходят через прямую и являются фронтально-проецирующими плоскостями. Большие оси эллипсов — отрезки 1-2 и 3-4, а малые равны диаметру цилиндра. Горизонтальная проекция линии пересечения находится из условия принадлежности ее точек поверхности конуса.

1. Соосные поверхности вращения (т. е. поверхности с общей осью) пересекаются по окружностям.

Если ось вращения соосных поверхностей перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде окружности, а на другую плоскость проекций — в прямую линию.

На рис. 7.11 даны примеры пересечения соосных поверхностей вращения (ось вращения перпендикулярна плоскости ). На рис. 7.11, а приведены цилиндр и конус, б — конус и сфера, в — две сферы. За ось сферы можно принять любой ее диаметр. Поэтому сфера, центр которой находится на оси поверхности вращения, пересекается с этой поверхностью по окружности.

Вопросы для контроля

1. Поясните общий способ построения линии пересечения двух поверхностей.
2. Какие точки линии пересечения являются характерными (опорными)?
3. Как определяется видимость линии пересечения?
4. Что представляет собой линия пересечения тела вращения с многогранником?
5. При каком взаимном положении поверхностей вращения возможно применение вспомогательных секущих сфер?
6. Какие линии образуются при взаимном пересечении: а) цилиндров с параллельными осями; б) конусов с общей вершиной?

Аксонометрические проекции

Теоретические основы построения аксонометрических проекций

Аксонометрическая проекция, или просто аксонометрия, даст наглядное изображение предмета на одной плоскости. Слово аксонометрия означает оссизмерение.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данную фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируют на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксонометрических проекций (ее называют также картинной плоскостью). При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции, а также при разном направлении проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся одна от другой направлением аксонометрических осей и масштабами по ним.

В конструкторской документации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317-69. Он предусматривает три вида аксонометрических проекций:

• прямоугольная изометрия;
• прямоугольная диметрия;
• фронтальная косоугольная диметрия.

Рассмотрим, как будут направлены аксонометрические оси, а также как будет осуществляться масштабирование по ним в случае направления проецирования, перпендикулярного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции. На рис. 8.1 изображена пространственная система прямоугольных координат а также единичные отрезки на осях координат и их проекции в направлении на некоторую (картинную) плоскость , являющуюся аксонометрической плоскостью проекций.

Проекции : отрезка на соответствующих аксонометрических осях в общем случае не равны отрезку в и не равны между собой.

Эти проекции являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими масштабами.

Отношения: называют коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки — будут равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.

При аксонометрическую проекцию называют изометрической, искажения по всем осям в ней одинаковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при , имеем диметрическую проекцию.

Отрезки являются аксонометрическими проекциями отрезков . Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости через . Тогда . Эти отношения являются коэффициентами искажения, т. е. Поскольку треугольники и прямоугольные, то сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

Отсюда или следовательно, Таким образом: т. е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.

Прямоугольная изометрическая проекция

Прямоугольная (ортогональная) изометрическая проекция образуется при прямоугольном проецировании предмета и его координатных осей на плоскость аксонометрических проекций, одинаково наклоненную к каждой координатной оси.

При таком проецировании все три коэффициента искажений будут равны между собой: тогда откуда . Углы между аксонометрическими осями будут равны .

При построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, необходимо умножать на 0,82. ГОСТ 2.317-69 допускает для упрощения построений принимать коэффициенты искажений равными единице. При этом увеличение изображения предмета составляет . Каждый отрезок, направленный по осям или параллельно им, сохраняет свою величину.

Расположение осей изометрической проекции показано на рис. 8.2, а.

Все отрезки прямых, которые были параллельны осям на комплексном чертеже, останутся параллельными соответствующим осям в изометрической проекции. На рис. 8.2, б приведена изометрическая проекция отрезка , расположенного перпендикулярно профильной плоскости проекций.

На рис 8.3 показано построение эллипсов, в которые проецируются окружности, лежащие в плоскостях проекций или в плоскостях, параллельных им. Размер большой оси эллипса равен малой — где — диаметр исходной окружности.

В учебных чертежах рекомендуется вместо эллипсов применять овалы, очерченные дугами окружностей. На этом же рисунке показано расположение осей овалов и один из способов построения овалов в прямоугольной изометрической проекции.

На рис. 8.4, а приведен чертеж цилиндра, усеченного несколькими плоскостями, и его изометрическая проекция (рис. 8.4, б), на которой показано построение точки , принадлежащей одной из линий сечения.

Здесь используются все три оси координат. Сначала по оси откладывается значение , измеренное на горизонтальной проекции цилиндра, далее из этой точки проводится линия, параллельная оси , на которой откладывается величина , измеренная также на горизонтальной проекции. В конечной точке этого отрезка проводится вертикальная линия длиной , измеренной на фронтальной проекции цилиндра. Аналогично находятся остальные точки сечения цилиндра в количестве, необходимом для получения качественной линии пересечения.

Прямоугольная диметрическая проекция

Прямоугольная (ортогональная) диметрическая проекция образуется при прямоугольном проецировании предмета и связанных с ним координатных осей на плоскость аксонометрических проекций, одинаково наклоненную к двум координатным осям.

Коэффициенты искажений в диметрической проекции имеют следующие значения: Тогда

В целях упрощения построений в соответствии с ГОСТ 2.317 приведенные коэффициенты искажений по осям и принимают равными единице; а по оси коэффициент искажения равен 0,5. Следовательно, по осям и или параллельно им все размеры откладывают в натуральную величину, а по оси размеры уменьшают вдвое. Увеличение в этом случае составляет (выражается числом 1,06 = 1 / 0,94).

Расположение осей в диметрической проекции показано на рис. 8.5. Ось наклонена по отношению к горизонтальной линии под углом , а ось — под углом .

В диметрической проекции изображения геометрических тел строят так же, как в изометрической, с учетом коэффициента искажений по оси у, вдоль которой размеры уменьшаются вдвое. Все отрезки прямых, которые были параллельны осям на комплексном чертеже, останутся параллельными соответствующим осям в диметрической проекции.

На рис. 8.6 приведены окружности в диметрической проекции с указанием соответствующих значений величин осей эллипсов.

Большая ось эллипсов во всех случаях равна , где — диаметр окружности. Малые оси эллипсов, расположенных на плоскостях, параллельных плоскостям проекций и , равны , а на плоскости, параллельной фронтальной плоскости .

Косоугольная фронтальная диметрия

Если аксонометрическая проекция параллельна одной из координатных плоскостей, то изображения, лежащие в этой плоскости, на аксонометрической проекции не искажаются. При этом ортогональное проецирование недопустимо, так как координатная ось, перпендикулярная указанной координатной плоскости, изобразится точкой и изображение будет лишено наглядности. Поэтому пользуются косоугольным проецированием, при котором направление оси у выбирают так, чтобы углы между ней и осями и равнялись бы (рис. 8.7), а показатель искажения — 0,5. Такая косоугольная аксонометрия называется фронтальной диметрией.

На рис. 8.8 показаны проекции окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных координатным. Окружность, расположенная в плоскости , проецируется на плоскость проекций без искажения, а окружности, расположенные в плоскостях, параллельных координатным плоскостям и , спроецируются в виде эллипсов. Эти эллипсы обычно строят по сопряженным диаметрам. Большая ось эллипсов равна , а малая ось — ( — диаметр окружности).

Задачи с решением №6

Задача №1.

Построить изометрическую проекцию точки , представленной проекциями и (рис. 8.9, а).

Решение:

Если даны прямоугольные проекции точки, то это значит, что известны все три координаты , позволяющие построить изометрическую проекцию. Построение

начинаем с изометрических осей, которые проводим под углом друг к другу (рис. 8.9, б). Далее от начала координат 0 по оси откладываем отрезок . Из полученной точки проводим прямую, параллельную оси , и на ней откладываем отрезок . Из точки проводим прямую, параллельную оси , на которой откладываем отрезок, равный координате точки , —. Полученная точка — искомая изометрическая проекция точки .

Задача №2.

Построить изометрическую проекцию куба.

Решение:

Центр нижнего основания куба размещается в точке 0 пересечения изометрических осей (рис. 8.10). В направлении осей откладываем расстояния, равные половине длины стороны куба . Из полученных точек проводим стороны основания куба, равные полной длине . Линии проводим параллельно осям. Затем из точки 0 вдоль оси откладываем расстояние а и строим верхнее основание куба.

Задача №3.

По заданным проекциям построить изометрическую проекцию цилиндра и точки , лежащей на его боковой поверхности (рис. 8.11).

Решение:

Проводим изометрические оси и строим эллипс нижнего основания. Затем определяем центр верхнего основания цилиндра и строим второй эллипс. Оба эллипса соединяем вертикальными образующими. Для построения точки отмечаем точку на нижнем основании цилиндра (откладывая координаты и точки ). Затем на вертикальной образующей, проходящей из точки на высоте отмечаем точку .

Задача №4.

Построить прямоугольную диметрическую проекцию куба со стороной, равной .

Решение:

Начало координат разместим на пересечении граней куба. Нижнее основание куба размещаем в плоскости (рис. 8.12). В направлении оси откладываем расстояние, равное полной длине куба . В направлении оси откладываем расстояние, равное половине длины стороны куба . Из полученных точек проводим стороны основания куба параллельно осям и . Затем из точки 0 вдоль оси вверх откладываем расстояние а и строим верхнее основание куба аналогично нижнему. Вершины нижнего и верхнего оснований соединяем вертикальными линиями.

Задача №5.

Построить фронтальную косоугольную диметрическую проекцию шестигранника.

Решение:

Разместим основание шестиугольной призмы параллельно плоскости (рис. 8.13). В этом случае шестиугольник проецируется на аксонометрическую плоскость проекций без искажений. Затем из вершин шестиугольника проводим прямые, параллельные оси . На этих прямых откладываем отрезки, равные половине длине боковых ребер призмы. Соединив полученные точки, получаем второе основание призмы. В заключение определяем видимые и невидимые линии призмы.

Вопросы для контроля

1. Дайте определение аксонометрической проекции.
2. Что называется коэффициентом искажения?
3. Какие виды аксонометрии вы знаете?
4. Как располагаются оси прямоугольной изометрии?

Интерактивные графические системы проектирования. Основы компьютерных геометрических построений

Этапы развития систем проектирования. Зд-моделирование

Современный инженер должен быть знаком и уметь применять в своей деятельности новые технологии. В условиях динамично развивающихся систем автоматизированного проектирования знание основ трехмерного моделирования, параметризации, технологии создания чертежей в CAD-системе является необходимым для студентов, получающих высшее техническое образование.

В основе ЗЭ-моделирования заложен математический аппарат, реализованный в ядре графической системы и производящий трехмерные изображения. Математические зависимости, описывающие формирование цифровой модели реальных объектов, а также алгоритмы для расчета виртуального пространства, были разработаны еще в 1960-х годах. Со временем геометрические формы создаваемых на экране моделей усложнялись: наряду с простыми геометрическими примитивами и их комбинациями (куб, сфера, тор, различные тела, описываемые несложными алгебраическими уравнениями) появилась возможность поверхностного моделирования. При этом формируемая модель представляет собой поверхность, которая может состоять из множества полигонов (чаще всего треугольников). Развитие поверхностного моделирования стало большим шагом вперед и позволило создавать модели практически любой формы.

Стабильный рост производительности персональных компьютеров в 90-х годах прошлого века дал толчок развитию относительно недорогих приложений для трехмерного моделирования. Появление таких программных пакетов сделало 3D доступным для простых пользователей. Легкость в освоении, относительно небольшие требования к аппаратному обеспечению и широкие возможности таких систем обеспечили им быстрое распространение.

Следом за дизайном трехмерная графика проникла и в инженерное проектирование. Исторически сложилось так, что сфера промышленного проектирования жестко ограничена требованиями стандартов, которые касаются лишь плоского черчения. По этой причине переход на трехмерное моделирование в машиностроительном проектировании не был безболезненным. Однако большие возможности по созданию моделей сложных форм, легкость в проектировании и планировке, намного лучшие возможности для выявления ошибок на этапе проектирования и, самое главное, более наглядное представление объекта проектирования сделали свое дело. С середины 1990-х годов трехмерная графика стала широко применяться в инженерии.

Чертежи, выполняемые вручную карандашом на кульмане, ушли в прошлое. Точность таких чертежей невысока, времени на их изготовление затрачивается много, а редактирование невозможно. По мере совершенствования компьютерных технологий развивалась и сфера конструирования. В графических редакторах появилась возможность создавать библиотеки типовых элементов, оформлять чертежи и другую документацию в соответствии со стандартами ЕСКД.

Постепенно в промышленном проектировании стало применяться трехмерное моделирование. Кроме лучшего визуального представления проектируемых изделий, ЗD-графика на порядок повышает точность проектирования составных объектов, позволяет легко редактировать трехмерную модель. Ассоциативная связь, устанавливаемая в инженерных ЗD-системах между моделью изделия, его чертежами, а также документацией на изделие (например, спецификацией), позволяет при внесении изменений в ЗD-модель автоматически отобразить все эти изменения в других документах, связанных с моделью.

В данной лекции в рамках курса «Инженерная геометрия и графика» рассматривается применение ЗD-модслирования только для решения геометрических задач.

Материал лекции рассчитан на студентов, прошедших ознакомительные лабораторные работы в объеме 10 часов и освоивших графический редактор и приемы плоского черчения в системе КОМПАС.

В связи с ограниченностью объема данного издания рассматривается порядок построения моделей лишь простых геометрических фигур — призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, сферы, а также моделей взаимно пересекающихся фигур. Конечной целью построений является создание чертежа, содержащего 3 проекции смоделированного объекта со всеми линиями пересечений.

Основные команды построения трехмерных моделей

Система KOMПAC-3D является наиболее приближенной к требованиям стандартов ЕСКД, изучаемых в курсе «Инженерная геометрия и графика», поэтому вопросы трехмерного моделирования далее рассматриваются на основе этой системы. Все операции по созданию и редактированию трехмерных моделей системы КОМПАС-ЗО предназначены для работы с твердыми телами.

Твердое тело — область трехмерного пространства, состоящая из однородного материала и ограниченная замкнутой поверхностью, которая сформирована из одной или нескольких граней. Любое твердое тело состоит из базовых трехмерных элементов: граней, ребер и вершин (рис. 9.1).

Контур формы тела определяется плоской фигурой, называемой эскизом, а сама форма создается путем перемещения этого эскиза в пространстве (вращение вокруг оси, выдавливание перпендикулярно плоскости эскиза, перемещение по траектории и пр.).

Эскиз — это обычное двухмерное изображение, размещенное на плоскости в трехмерном пространстве. В эскизе могут присутствовать любые графические элементы.

Последовательность построения эскиза для формообразующей операции такова:

1. Выделяется в дереве построения плоскость, на которой планируется разместить эскиз (плоскость может быть стандартной или вспомогательной).
2. Открывается эскиз (кнопка ) на панели инструментов Текущее состояние. Модель изменит ориентацию таким образом, чтобы выбранная плоскость разместилась параллельно экрану (т. е. по нормали к линии взгляда).
3. После запуска процесса создания эскиза компактная панель инструментов изменит свой вид. На ней будут доступны панели инструментов с командами для двухмерных построений. В этом режиме создается эскиз изображения. Для завершения еще раз нажимается кнопка Эскиз.

Все команды для построения и редактирования объемной детали расположены на панели инструментов Редактирование детали (рис. 9.2).

Все трехмерные операции в КОМПАС-ЗЭ делятся на основные (формообразующие) и дополнительные. Основные операции включают команды для добавления и удаления материала детали, булевы операции. Дополнительные операции представляют собой команды для реализации конструкторских элементов на детали (фаски, скруглсния, отверстия, ребра жесткости и т. д.).

Существует три основных способа формирования трехмерных элементов:

1. Выдавливание. Форма трехмерного элемента образуется путем смещения эскиза операции (рис. 9.3) строго по нормали к его плоскости. Эскизом может быть один замкнутый контур;
2. Вращение. Формообразующий элемент является результатом вращения эскиза (рис. 9.4) в пространстве вокруг произвольной оси. Вращение может происходить на угол 360° или меньше. Ось вращения не должна пересекать изображение эскиза!
3. Кинематическая операция. Поверхность элемента формируется в результате перемещения эскиза операции вдоль произвольной трехмерной кривой (рис. 9.5). Эскиз должен содержать обязательно замкнутый контур, а траектория перемещения начинаться в плоскости эскиза.

В контекстном меню (правая клавиша мыши) для каждой операции с трехмерными элементами есть несколько полезных команд:

• Удалить — удаляет трехмерный элемент из модели и дерева построения. При удалении определенного элемента из детали его эскиз не удаляется, но удаляются все зависящие от него трехмерные элементы (операции);
• Скрыть — управляет отображением элемента детали, выбранного в дереве построения. После выполнения данной команды элемент будет скрыт в модели;
• Исключить из расчета — исключает из расчета выбранную операцию, вследствие чего модель перестраивается так, как будто исключенной операции вообще нет в модели.

При редактировании эскиза трехмерная операция, в которую он входит, а также все операции в модели, следующие за этой операцией в дереве построения, блокируются (становятся недоступными). Данные операции нельзя выделить, изменить до тех пор, пока не будет завершено редактирование эскиза. После выхода из режима редактирования эскиза все эти операции будут перестроены с учетом изменений в эскизе.

Построение модели призмы

Рассмотрим построение трехмерной модели призмы, часть которой отсечена несколькими плоскостями частного положения. На рис. 9.6 в качестве исходных данных приведены две проекции призмы с необходимыми размерами.

Сразу после запуска программы КОМПАС появляется окно Выбор типа создаваемого документа (рис. 9.7).
В диалоговом окне Новый документ выбирается тип файла Деталь Этот документ содержит трехмерное изображение (ЗD-модель) объекта, сформированного при помощи формообразующих операций (выдавливание, вырезание, булевы операции).

Система создаст новый документ, при этом главное меню и панели инструментов будут иметь вид, представленный на рис. 9.8.

Команды, необходимые для моделирования, можно выбирать в главном меню (Системное меню — Операции на рис. 9.8) или на компактной панели инструментов под кнопкой .

Расположение инструментальных панелей на рис. 9.8 дано для режима настройки «по умолчанию», т. е. как предлагают разработчики системы. Пользователь может перемещать панели в любое удобное для него место экрана, но в этом случае расположение кнопок выполняемых в дальнейшем команд не будет совпадать с приведенными в лекции примерами.

Кратко рассмотрим этапы построения модели призмы.

1. Открыть в дереве модели Начало координат.
2. Выбрать плоскость .
3. Перейти в режим Эскиза
4. Построить тонкой линией окружность диаметром 120 мм. Ориентацию эскиза не трогать и не менять!
5. Построить основной линией равносторонний треугольник, вписанный в эту окружность. Окружность удалить.
6. Выйти из режима Эскиза (повторно нажать на знак ).
7. В дереве модели указать этот эскиз, выбрать команду Редактирование детали и операцию Выдавливание
8. В строке Свойства задать Направление Прямое и размеры призмы: Расстояние 1 (высота): 120 мм.
9. Завершить операцию, нажав на кнопку в строке Свойства.
10. Указать команду Ориентация и установить Вид Спереди. Закрыть окно, нажав Выход.
11. В дереве модели выбрать Плоскость .
12. Перейти в режим Эскиз
13. Открыть инструментальную панель Геометрия Непрерывную линию и построить на призме контур сечения, соблюдая размеры, указанные в задании (рис. 9.9). В этом режиме деталь можно уменьшать (увеличивать) колесиком мыши, а для перемещения дополнительно нажимать клавишу Shift. Контур обязательно должен быть замкнутым.

1. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать на знак ).
2. В дереве модели указать этот эскиз, а на панели Редактирование детали выбрать Вырезать выдавливанием (кнопка ).
3. В строке Свойства указать Направление Два направления и размеры: Расстояние 1: 60 мм, Расстояние 2: 60 мм. Модель можно повернуть, наблюдая за изменениями секущих плоскостей.
4. Завершить операцию, нажав на кнопку в строке Свойства.
5. На призме должен сформироваться вырез, соответствующий построенному контуру (рис. 9.10). Проверить правильность полученных видов, выбрав в команде Ориентация Вид Спереди (установить), Сверху (установить), Слева (установить). Выйти из команды (Выход) и сохранить модель. После того как получена модель призмы, можно перейти к автоматизированному построению чертежа, содержащему три стандартных вида призмы — спереди, сверху и слева. Для получения этого чертежа необходимо выполнить следующие команды.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж.
2. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера
3. Открыть окно Виды или выбрать в меню Вставка модели — Стандартные.
4. В открывшемся окне выбрать файл с моделью призмы и открыть его.

1. В строке Свойства выбрать схему видов и изменить расстояние между видами с 15 мм (по умолчанию) на 50 мм по горизонтали и 25 мм по вертикали (рис. 9.11).
2. В этой же строке Свойства нажать кнопку Линии и включить Невидимые линии и Линии переходов.
3. Разместить виды в центре чертежа (рис. 9.12) и нажать
4. Достроить оси на всех видах. Номер вида выбирается в строке Текущее состояние (обычно находится в верхней части экрана). Виды являются ассоциативно связанными и никакие изменения на них не допускаются. Можно редактировать только модель
5. Обозначить точки на линиях пересечения на всех проекциях, подписать вершины основания призмы. Заполнить основную надпись.

Построение развертки боковой поверхности призмы

Компьютерные системы проектирования позволяют строить развертки различными способами. Здесь рассмотрим один из возможных вариантов.

1. Построить модель призмы.
2. Создать новый чертеж. Для этого выбрать команды Файл — Создать — Чертеж.
3. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера документа
4. Вернуться к модели призмы.
5. Выбрать боковую грань и построить относительно ее смещенную плоскость: Операции — Плоскости — Смещенная плоскость — Расстояние 1 мм.
6. Завершить операцию, нажав на кнопку в строке Свойства.
7. Указать в дереве построений эту плоскость и перейти в режим Эскиз .
8. Построить основной линией контур этой грани со всеми вырезами (рис. 9.13).
9. Обвести контур рамкой и скопировать его в буфер, указав точку привязки на этой грани (в любом месте, потом эта точка будет использоваться для вставки на чертеже развертки).
10. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать на кнопку ).
11. Перейти в окно с чертежом развертки и выполнить вставку скопированной грани на поле чертежа.
12. Вернуться к модели призмы.
13. Выбрать следующую боковую грань и построить относительно ее еще одну смещенную плоскость: Операции — Плоскости — Смещенная плоскость — Расстояние 1 мм.
14. Завершить операцию, нажав на в строке Свойства.
15. Указать в дереве построений эту плоскость и перейти в режим Эскиз
16. Открыть инструментальную панель Геометрия , выбрать Непрерывную линию и построить основной линией контур грани. В этом режиме деталь можно уменьшать или увеличивать колесиком мыши, а для перемещения необходимо дополнительно нажимать клавишу Shift.
17. Обвести контур рамкой и скопировать его в буфер, указав точку привязки на этой грани (в любом месте).
18. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать на кнопку ).
19. Перейти в окно с чертежом развертки и выполнить вставку скопированной грани на поле чертежа.
20. Повторить приведенные выше операции столько раз, сколько граней на призме.
21. На чертеже должна сформироваться развертка, содержащая столько прямоугольников, сколько боковых граней в призме (рис. 9.14).

Линии, разделяющие внутренние сгибы развертки должны иметь специальную форму — штрихпунктирные с двумя точками, как показано на рис. 9.14.

В завершении необходимо обозначить точки на линии пересечения граней плоскостями и подписать вершины основания призмы.

Построение развертки боковой поверхности любой фигуры в системах КОМПАС-ЗD версий 15 и выше возможно с помощью команд библиотеки Машиностроение (Механика) -Оборудование — Развертки Эта библиотека входит в отдельный пакет MCAD, устанавливаемый вместе с системой КОМПАС.

Построение модели пирамиды, усеченной плоскостями

На рис. 9.15 представлен чертеж-задание пирамиды, усеченной плоскостями. Порядок построения модели пирамиды следующий.

1. Выбрать Файл — Создать — Деталь.
2. Открыть в дереве модели Начало координат и выбрать Плоскость .
3. Создать эскиз на этой плоскости, для этого нажать кнопку , построить треугольник основания, вписанный в окружность диаметром 120 мм.
4. Выйти из эскиза .
5. Выделить этот эскиз в дереве построений, включить Выдавливание и выдавить треугольник на высоту 120 мм. Направление Прямое. Расстояние 1: 120 мм. Угол внутрь: 14-15°. Угол может быть другой, надо следить за вершиной, чтобы получить одну точку (рис. 9.16).
6. В верхнем меню Ориентация выбрать Вид Спереди (нажать Установить и Выход).
7. В дереве модели выбрать плоскость .
8. Включить Эскиз и на этой плоскости построить контур сечения пирамиды плоскостями (по заданным размерам). Контур строить Непрерывной линией. Линия контура должна быть замкнутой (рис. 9.17).
9. Выйти из эскиза
10. Выбрать этот эскиз в дереве модели и указать операцию. Вырезать выдавливанием
11. Для выдавливания выбрать Два направления, расстояния примерно 30 мм. Завершить операцию, нажав на строке Свойства.
12. Проверить соответствие видов: в меню Ориентация выбрать Вид Сверху (установить), Слева (установить).
13. Сохранить модель.

Теперь создадим чертеж построенной модели. Для этого следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж. Установить формат чертежа A3.
2. Выбрать Вставка — Вид — Вид с модели — Стандартные. В открывшемся окне выбрать файл модели пирамиды и открыть его.
3. Графический редактор КОМПАС-ЗD предложит стандартную схему построения чертежа из 3 видов: Спереди, Сверху и Слева. Изменять схему не нужно, надо только расширить расстояние между проекциями: в строке Свойства (в нижней части экрана) выбрать кнопку Схема и задать расстояния по горизонтали 50 мм, а по вертикали 25 мм.
4. Выбрать отрисовку невидимых линий: для этого на панели свойств открыть вкладку Линии и включить Невидимые. Завершить построение, нажав . Начертить оси.
5. Обозначить вершины пирамиды, точки на линии сечения на всех проекциях.
6. Заполнить основную надпись и сохранить чертеж.
7. Распечатать чертеж, используя масштаб 99 (режим Обрезать по размеру страницы).

Построение модели цилиндра, пересеченного плоскостями

На рис. 9.18 приведен чертеж-задание для построения модели цилиндра. Процедура построения модели цилиндра состоит из следующих этапов.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Деталь.
2. Открыть в дереве модели Начало координат.
3. Выбрать плоскость .
4. Перейти в режим Эскиз
5. Построить окружность диаметром 120 мм. Ориентацию не трогать и не менять!
6. Выйти из режима Эскиз (нажать на кнопку ).
7. В дереве модели указать этот эскиз, затем выбрать команду Редактирование детали и Выдавливание .
8. В строке Свойства задать Направление Прямое и размеры цилиндра: Расстояние 1 (высота): 120 мм.
9. Завершить операцию, нажав на в строке Свойства.
10. Указать команду Ориентация и установить Вид Спереди. Закрыть окно, нажав Выход.
11. В дереве модели выбрать плоскость .
12. Перейти в режим Эскиз
13. Открыть инструментальную панель Геометрия и построить на цилиндре контур сечения, соблюдая размеры, указанные в задании (рис. 9.19). В этом режиме деталь можно уменьшать или увеличивать колесиком мыши, а для перемещения дополнительно нажимать клавишу Shift. Контур обязательно должен быть замкнутым.
14. Выйти из режима Эскиз (нажать на знак).
15. На панели Редактирование детали выбрать команду Вырезать выдавливанием (кнопка 1Mb). В дереве модели указать последний эскиз.
16. В строке свойств указать Направление Два направления, Расстояние 1: 60 мм и Расстояние 2: 60 мм. Модель можно повернуть, рассматривая вырез со всех сторон. Рис. 9.19
17. Завершить операцию, нажав .
18. На цилиндре должен сформироваться вырез, соответствующий заданному контуру (рис. 9.20). Проверить правильность полученных видов, выбрав в команде Ориентация Вид Спереди (установить), Сверху (установить), Слева (установить). Выйти из команды (Выход) и сохранить модель.

После того как построена модель цилиндра, можно приступить к формированию чертежа, содержащего 3 стандартных вида объекта.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера документа
2. Открыть окно Виды или выбрать в меню Вставка — Вид — Вид с мо-дели — Стандартные.
3. В открывшемся окне выбрать файл с моделью цилиндра и открыть его.
4. В строке свойств выбрать схему видов и изменить расстояние между видами с 15 мм (по умолчанию) на 50 мм по горизонтали и 25 мм по вертикали.
5. В этой же строке свойств нажать кнопку Линии и включить Невидимые линии и Линии переходов.
6. Расставить виды на поле чертежа и нажать .
7. Достроить оси на каждом виде и обозначить точки на линиях пересечения на всех проекциях. Номер вида выбирается из строки Текущее состояние. Виды являются ассоциативно связанными и никакие изменения на видах не допускаются. Можно редактировать только модель.

Построение трехмерной модели конуса с горизонтальным и вертикальным отверстиями

Большинство реальных технических деталей имеет форму в виде взаимно пересекающихся геометрических тел — конических, призматических, цилиндрических и др. Построению таких тел посвящено много задач дисциплины «Инженерная геометрия и графика». Здесь рассмотрим один из способов построения подобных тел на примере модели усеченного конуса с двумя взаимно перпендикулярными сквозными отверстиями (рис. 9.21).

Процедура построений следующая.

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Деталь.
2. Открыть в дереве модели Начало координат и выбрать плоскость .
3. Перейти в режим Эскиз
4. Построить окружность диаметром 110 мм. Ориентацию не трогать и не менять!
5. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать кнопку ).
6. В дереве модели указать этот эскиз, выбрать команду Редактирование детали и Выдавливание
7. В строке Свойства задать Направление Прямое и размеры конуса: Расстояние 1 (высота): 120 мм, Уклон внутрь: 12°. Рис. 9.21
8. Завершить операцию, нажав на в строке свойств.

9-1. Проверить полученное верхнее основание конуса (оно должно иметь диаметр 60 мм). Для этого построить смещенную плоскость относительно плоскости на расстоянии 120 мм. На этой плоскости построить эскиз , содержащий окружность диаметром 60 мм.

9-2. Выйти из эскиза, нажав

9-3. При необходимости изменить диаметр верхнего основания конуса, подвести курсор в дереве модели к ранее выполненной операции выдавливания — Операция выдавливания: 1, нажать правую кнопку мыши, выбрать в контексном меню команду Редактировать и изменить угол выдаваливания, чтобы диаметр основания соответствовал диаметру окружности на смещенной плоскости.

9-4. Завершить операцию, нажав на в строке свойств.

1. Указать команду Ориентация и установить Вид Спереди. Закрыть окно, нажав Выход.
2. В дереве модели выбрать плоскость .
   содержащий окружность диаметром 60 мм.
3. Перейти в режим Эскиз (нажать кнопку ).
4. Открыть инструментальную панель Геометрия построить на этой плоскости окружность диаметром 70 мм (рис. 9.22).
5. Выйти из режима Эскиза (нажать кнопку ).
6. На панели Редактирование детали выбрать Вырезать выдавливанием (кнопка ).
7. В строке свойств указать Направление Два направления, Расстояние 1: 70 мм и Расстояние 2: 70 мм. Модель можно повернуть, наблюдая за линией пересечения.
8. Завершить операцию, нажав на в строке свойств.

1. На конусе образуется сквозное горизонтальное отверстие.
2. Осталось построить сквозное вертикальное отверстие. Для этого выбрать построенную ранее смещенную плоскость относительно основания на 120 мм. На этой плоскости в режиме эскиза построить окружность диаметром 50 мм (рис. 9.23).
3. Выйти из эскиза и вырезать выдавливанием сквозное вертикальное отверстие в конусе.
4. Завершить операцию, нажав на в строке свойств.
5. Проверить правильность полученных видов, выбрав команду Ориентация и Вид Спереди (установить), Сверху (установить), Слева (установить).
6. Выйти из команды (Выход) и сохранить модель.

Создание чертежа из модели конуса

1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж.
2. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера документа.
3. Открыть окно Виды или выбрать в меню Вставка — Вид — Вид с модели — Стандартные.
4. В открывшемся окне выбрать файл с моделью конуса и открыть его.
5. В строке свойств выбрать Схему видов и изменить расстояние между видами с 15 мм (по умолчанию) на 50 мм по горизонтали и 25 мм по вертикали.
6. В этой же строке свойств нажать кнопку Линии и включить Невидимые линии и Линии переходов.
7. Расставить виды на поле чертежа и нажать .
8. Достроить оси на каждом виде и обозначить точки на линиях пересечения на всех проекциях. Виды являются ассоциативно связанными и никакие изменения на видах не допускаются. Можно редактировать только трехмерную модель.
9. Заполнить основную надпись.

Вопросы для контроля

1. Какую роль выполняет эскиз при построении трехмерных моделей?
2. На какой плоскости располагается эскиз?
3. Перечислите основные команды создания объемных моделей и их свойства.
4. Из каких геометрических элементов можно построить сферу? Какие операции используются для построения сферы?

Готовые задачи с решением по начертательной геометрии

Начертательная геометрия представляет собой раздел геометрии, занимающийся изучением форм предметов реального мира и абстрактных закономерностей с использованием «плоских эквивалентов многомерного пространства»- чертежей.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Начертательная геометрия является одной из базовых учебных дисциплин в вузах и колледжах России. Однако методы ее преподавания и изучения до сих пор практически не претерпели изменений: те же лекции с традиционной линейкой, те же практические занятия с заготовками для задач в рабочих тетрадях, все те же ветшающие в библиотеках старые учебники, которых все более и более не хватает.

В этой связи содержание начертательной геометрии можно свести к следующим двум основным вопросам:

• разработке способов построения изображений (чертежей) пространственных фигур на двумерной плоскости;
• изучению способов решения и исследования пространственных задач при помощи «плоских эквивалентов» (чертежей).

Начертательная геометрия является одной из базовых учебных дисциплин в вузах и колледжах России. Однако методы ее преподавания и изучения до сих пор практически не претерпели изменений: те же лекции с традиционной линейкой, те же практические занятия с заготовками для задач в рабочих тетрадях, все те же ветшающие в библиотеках старые учебники, которых все более и более не хватает.

Построение проекции плоского контура по заданному условию

• Метод проекции и свойства
• Точка в системе плоскостей проекций h v и w
• Прямые общего и частных положений относительно плоскостей проекций
• Деление отрезка в заданном отношении на чертеже
• Взаимное положение двух прямых
• Теорема о проекции прямого угла

Задача №1.

Построить проекции плоского контура по заданному условию. Задача имеет два варианта условий.

Варианты 1-15: построить фронтальную и горизонтальную проекции ромба с диагоналями и по заданному условию: вершина ромба, точка , дана, а диагональ лежит на заданной прямой уровня вторая диагональ ромба равна 130 мм и проходит через заданную точку . Диагональ ромба определяется построениями. Определить углы наклона диагонали ромба к плоскостям проекций и .

Варианты 16-30: построить проекции квадрата с диагоналями и но заданному условию: вершина квадрата, точка , дана, а диагональ лежит на заданной прямой ; вторая диагональ квадрата проходит через заданную точку . Диагонали квадрата определяются построениями. Определить углы наклона диагонали квадрата к плоскостям проекций и .

Данные всех вариантов представлены координатами и точек и в табл. 4.1.

На образце показан пример решения задачи 1 по условию вариантов 1-15, т.е. построены проекции ромба .

Для решения задачи рассмотрим ромб как геометрическую фигуру: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения (точка ) делятся пополам.

По заданным в табл. 4.1 координатам точек построить на левой половине листа 1 графическое условие задачи: проекции фронтальной прямой уровня и проекции точки . В левом верхнем углу выполнить таблицу с координатами точек своего варианта.

План графических действий для решения задачи 1 :

1-е действие. Построить фронтальную и горизонтальную проекции прямой общего положения , проходящей через точку , на которой будет лежать диагональ ромба :

• фронтальная проекция этой прямой перпендикулярна фронтальной проекции прямой уровня (в соответствии с теоремой о проекции прямого угла) и проходит через фронтальную проекцию точки ;

-фронтальная проекция точки пересечения диагоналей ромба определяется на пересечении фронтальных проекций заданной прямой уровня и построенной прямой , а ее горизонтальная проекция построена по линии связи на проекции прямой ;

горизонтальная проекция прямой проходит через горизонтальные проекции точек и .

2-е действие. Построить на прямой общего положения проекции отрезка (половина второй диагонали ромба , построение см. на рис. 4.11 и 4.12), т.е. построить проекции вершины ромба.

3-е действие. Построить проекции вершин ромба и . отложив на диагоналях от точки отрезки, равные построенным проекциям половин диагоналей и .

4-е действие. Достроить проекции ромба , соединив прямыми линиями построенные проекции его вершин.

5-е действие. Определить углы наклона половины диагонали ромба — отрезка к плоскостям проекций и : построить натуральную величину отрезка способом прямоугольного треугольника относительно горизонтальной проекции этого отрезка и определить искомые углы:

-угол наклона отрезка к плоскости проекций определяется между проекцией половины диагонали и гипотенузой построенного прямоугольного треугольника ;

• угол наклона отрезка к плоскости проекций определяется между проекцией половины диагонали и гипотенузой построенного относительно горизонтальной проекции прямоугольного треугольника .

Построение фронтальной и горизонтальной проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения

• Различные способы задания плоскости на чертеже
• Прямые особого положения в плоскости
• Положение плоскости относительно плоскостей проекций
• Проведение плоскости частного положения через прямую общего положения
• Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

Задача №2.

Построить фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15: построить проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения и , заданных треугольными отсеками.

Варианты 16-30: построить проекции линии пересечения треугольника и параллелограмма , предварительно достроив проекции вершины параллелограмма.

Данные всех вариантов представлены координатами , точек и в табл. 4.2.

На образце дан пример решении задачи 2 но графическому условию вариантов 1-15.

Поскольку проекции заданных плоскостей общего положения и на чертеже накладываются, то для построения линии их пересечения используем графический алгоритм построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общею положения, изложенный выше (см. описания к рис. 4.37 и 4.38). Графические действия алгоритма следует выполнить дважды, гак как прямая пересечения плоскостей проходит через две общие точки.

План графических действий для решения задачи 2:

Построить точку пересечения прямой с плоскостью :

1-е действие. Заключить прямую (сторону треугольника ) во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость и обозначить ее фронтальный след .

2-е действие. Построить проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с другим треугольником .

3-е действие. Определить проекции точки пересечения стороны с плоскостью , продлив горизонтальную проекцию построенной вспомогательной линии до пересечения с горизонтальной проекцией стороны .

II. Повторить графические действия алгоритма и построить проекции второй точки пересечения прямой с плоскостью , заключив ее во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость . и обозначить ее горизонтальный след ; соединить прямыми одноименные проекции построенных точек (в пределах треугольников можно рассматривать линию ).

4-е действие. Определить относительную видимость плоскостей и . рассмотрев две пары конкурирующих точек: точки 1-5 для определения видимости на фронтальной проекции и точки 3-6 для определения видимости на горизонтальной проекции.

!!! Внимание! К листу 1 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 1 и 2.

Для решения задач 3 и 4 следует усвоить материал начертательной геометрии по теме.

Тема 2:

• перпендикулярность прямой и плоскости;
• теорема о проекции прямого угла (см. рис. 4.17, 4.18. 4.19 — повторить);
• перпендикулярность плоскостей.

Перпендикулярности прямой и плоскости

Решение задач на тему перпендикулярности прямой и плоскости основано на двух теоремах геометрии:

1-я теорема: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

2-я теорема: о проекции прямого угла (изложена выше — см. рис. 4.17, 4.18 и 4.19 к листу 1) — если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется прямым.

Из этих двух теорем следует, что на чертеже проекции перпендикуляра к плоскости можно провести только к проекциям фронтали и горизонтали, то есть к двум пересекающимся прямым уровня, которые можно провести в плоскости.

!!! Запомните:

• фронтальная проекция перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали этой плоскости — ;

• горизонтальная проекция перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости —

Задачи на тему перпендикулярности прямой и плоскости можно разделить натри группы:

1-я группа. Провести от точки, лежащей в плоскости, перпендикуляр в пространство.

2-я группа. Провести из точки, не лежащей в плоскости, перпендикуляр к этой плоскости.

3-я группа. Построить плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения (построить геометрическое место точек — ГМТ).

Первая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра от плоскости (восстановить перпендикуляр) в пространство (рис. 4.39).

В этой группе задач требуется, как правило, построить на проведенном перпендикуляре проекции отрезка заданной величины Графические действия по построению проекций отрезка заданной величины на проекциях прямой общего положения изложены ранее (см. рис. 4.12 к листу 1).

На рис. 4.39 показано решение примерной задачи первой группы: построить плоскость параллельную заданной плоскости , на расстоянии 15 мм.

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения параллельной плоскости нужно предварительно построить произвольную точку на расстоянии 15 мм от заданной плоскости , то есть из произвольной точки плоскости провести перпендикуляр в пространство.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм :

1-е действие. Провести в заданной плоскости общего положения проекции фронтали и горизонтали :

• — построить по вспомогательной точке 1;
• — построить по вспомогательной точке 2.

2-е действие. Провести от точки плоскости, например, от вершины в пространство проекции перпендикуляра :

• фронтальную проекцию перпендикулярно ;
• горизонтальную проекцию перпендикулярно .

3-е действие. На проекциях перпендикуляра построить проекции отрезка заданной величины 15 мм. для чего выполнить следующие графические действия:

1. Ограничить построенную прямую произвольным отрезком .
2. Построить натуральную величину этого отрезка (см. рис. 4.11) способом прямоугольного треугольника — это гипотенуза .
3. На построенной гипотенузе отложить заданную величину и построить проекции отрезка заданной величины (см. построения), т.е. проекции точки , находящейся на расстоянии 15 мм от плоскости .

4-е действие. Построить плоскость , параллельную заданной плоскости , проведя через проекции точку две пересекающиеся прямые и , соответственно параллельные двум пересекающимся прямым и плоскости :

• ;
• , то есть .

К первой группе относится задача 3 графической работы № 2.

Вторая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра из точки в пространстве к плоскости (опустить перпендикуляр). В этой группе задач, как правило, требуется построить точку пересечения построенного перпендикуляра с заданной плоскостью.

Построение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения было рассмотрено выше (см. рис. 4.37).

На рис. 4.40 показано решение примерной задачи второй группы: определить расстояние от точки до заданной плоскости .

Эта задача относится ко второй группе, так как расстояние от точки до заданной плоскости определяется величиной перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости фронталь и горизонталь .

2-е действие. Провести через заданную точку проекции перпендикуляра к плоскости :

перпендикулярно;

перпендикулярно .

3-е действие. Построить точку пересечения перпендикуляра с заданной плоскостью общего положения . выполнив промежуточный графический алгоритм:

1. Заключить прямую во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость
2. Построить вспомогательную линию пересечения 3-4 заданной плоскости со вспомогательной плоскостью :

• — определяется на следе ;
• — строится по принадлежности точек 3 и 4 сторонам и треугольника .

1. Определить проекции искомой точки пересечения на пересечении проекций построенной вспомогательной линии пересечения 3-4 с проекциями перпендикуляра .

4-е действие. Построить натуральную величину отрезка способом прямоугольного треугольника, то есть определить расстояние от точки до плоскости .

Ко второй группе относится задача 4 графической работы № 2.

Третья группа задач требует по условию построения некоторой вспомогательной плоскости (геометрического места точек), перпендикулярной к прямой общего положения. Эту перпендикулярную плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых должна быть перпендикулярна прямой общего положения (теорема о перпендикулярности прямой и плоскости, т.е. признак перпендикулярности прямой и плоскости). На чертеже плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения, можно задать только проекциями пересекающихся прямых уровня — фронтальной (параллельной плоскости проекций и горизонтальной (параллельной плоскости ), что соответствует теореме о проекции прямого угла. В задачах этой группы, как правило, требуется по условию определить точку пересечения заданной прямой со вспомогательной перпендикулярной плоскостью.

Па рис. 4.41 показано решение примерной задачи третьей группы: определить расстояние от точки до прямой общего положения .

Эта задача относится к третьей группе, поскольку на чертеже провести перпендикуляр к прямой общего положения, но которому определяется расстояние от точки до заданной прямой . нельзя (прямой угол в этом случае не проецируется

прямым). Следовательно, для решения нужно построить вспомогательную плоскость , перпендикулярную к заданной прямой, которая будет геометрическим местом всех перпендикуляров к этой прямой.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Построить вспомогательную плоскость , перпендикулярную заданной прямой , задав ее двумя пересекающимися прямыми уровня и :

• горизонтальной прямой ;
• фронтальной прямой .

2-е действие. Построить точкупересечения заданной прямой со вспомогательной плоскостью по алгоритму построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (см. рис. 4.40).

3-е действие. Соединить одноименные проекции точек и : полученный отрезок общего положения и есть расстояние от точки до прямой, искаженное на проекциях по величине.

4-е действие. Построить натуральную величину построенного отрезка способом прямоугольного треугольника (см. рис. 4.40).

Образец выполнения листа 2 с задачами 3 и 4 показан на рис. 4 42, а и б. Задачи выполнить на формате A3 чертежной бумаги

Задача №3. выполняется на левой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальную и горизонтальную проекции плоскости общего положения — основания прямой призмы (рассматривается решение задачи по условию вариантов 1-15).

Рассмотрим прямую правильную призму. Из геометрии известно: ребра и основания у любой призмы равны и параллельны, ау прямой призмы -ребра перпендикулярны основанию.

План графических действий решения задачи:

1-е действие. Провести в плоскости проекции фронтали и горизонтали .

2-е действие. Провести проекции перпендикуляра из вершины плоскости основания в пространство, т.е. построить направление ребер призмы.

3-е действие. Построить на перпендикуляре проекции отрезка заданной величины 65 мм, т.е. проекции ребра призмы.

4-е действие. Провести из вершин основания и прямые, параллельные и равные построенному отрезку . и достроить второе основание призмы.

5-е действие. Определить относительную видимость граней призмы на ее проекциях по конкурирующим точкам.

Задача №4. выполняется на правой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальные и горизонтальные проекции плоскости общего положения и отрезка общего положения (рассматривается решение задачи по условию вариантов 16-30).

Заданная плоскость общего положения по условию задачи является плоскостью проекций, и проецирующие лучи из концов отрезка должны быть перпендикулярны этой плоскости.

План графических действий для решения задачи:

1-е действие. Провести в заданной плоскости фронталь и горизонталь .

2-е действие. Провести проекции перпендикуляров (проецирующих лучей) из конечных точек и отрезка к плоскости .

3-е действие. Построить точки и пересечения перпендикуляров-лучей с плоскостью проекций , полученные проекции отрезка , лежащего в плоскости проекций , и есть прямоугольная проекция отрезка на эту его плоскость.

!!! Внимание. К листу 2 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 3 и 4.

Задача №5. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружности, описанной вокруг плоскости общего положения, заданной треугольником , способом замены плоскостей проекций.

Варианты 16-30. Построить проекции центра сферы, вписанной в плоский угол , способом -замены плоскостей проекций.

Задача №6. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданного треугольника (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 16-30. Построить натуральную величину заданного угла (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные всех вариантов представлены координатами и точек и в табл. 4.4.

Задание прямых линий и плоскостей в частных положениях относительно плоскостей проекций

Задание прямых линии и плоскостей в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение различных задач. Существует несколько способов преобразования чертежа, которые позволяют переходить от общих положений геометрических элементов в условиях задач к частным. Рассмотрим эти способы.

I. Способ замены (перемены) плоскостей проекции:

Способ замены плоскостей проекций даст возможность изменить общие положения прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций Н или V на частные положения введением дополнительных плоскостей проекций.

Сущность способа:

• положение предмета в пространстве не меняется, а изменяется положение плоскостей проекций относительно этого предмета так. чтобы в дополнительной системе плоскостей проекций предмет занял частное положение (проецирующее или положение уровня), удобное для решения задачи;
• проецирование предмета на дополнительные плоскости проекций выполняется по методу Г. Монжа — методу параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости, то есть сохраняется взаимная перпендикулярность основных и дополнительных плоскостей проекций.

На рис. 4.43 изображена наглядная картина построения фронтальной проекции отрезка на дополнительную плоскость проекций .

Образована дополнительная система перпендикулярных плоскостей проекций с новой осью проекции . Обратите внимание, что координаты фронтальных проекций и конечных точек отрезка на дополнительной плоскости равны координатам фронтальных проекций и точек в заданной системе . Для получения чертежа дополнительную плоскость поворачивают вокруг новой оси проекций до совмещения с плоскостью проекций .

На рис. 4.44 показан чертеж (эпюр) произвольного преобразования отрезка общего положения двумя последовательными заменами плоскостей проекций, для чего выполнены следующие графические действия:

I замена.

1-е действие. Введена первая дополнительная система , ось проекций которой расположена произвольно на поле чертежа.

2-е действие. Построена в дополнительной плоскости проекций фронтальная проекция отрезка :

• проведены линии связи от горизонтальных и проекций конечных точек отрезка, перпендикулярные оси проекций

• от оси проекций отложены координаты , равные координатам фронтальных и проекций точек и в заданной системе .

II замена.

3-е действие. Введена вторая дополнительная система , ось проекций которой расположена произвольно на поле чертежа.

4-е действие. В дополнительной плоскости проекций построена горизонтальная проекция отрезка :

• от построенных в первой дополнительной системе фронтальных проекций точек и проведены линии связи, перпендикулярные оси проекций
• от оси проекций отложены координаты , взятые из предыдущей системы : от оси до горизонтальных и проекций точек и .

Поскольку на рис. 4.44 рассмотрен пример произвольного, без всяких условий, двойного преобразования прямой общего положения, то и в первой, и во второй дополнительных системах этот отрезок преобразовался также в прямую общего положения.

Для преобразования прямой или плоскости общего положения в прямую или плоскость частного положения рассмотрим четыре основные задачи преобразования способом замены плоскостей проекций, применяемые как отдельные графические действия для решения различных задач.

Задача №1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

На рис. 4.45 показано преобразование прямой общего положения во фронтальную прямую уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций расположив ось проекций параллельно горизонтальной проекции отрезка .

2-е действие. Построить фронтальную проекцию отрезка в дополнительной плоскости по координатам , взятым из предыдущей системы .

В результате преобразования отрезок в дополнительной системе занял положение, параллельное дополнительной плоскости проекций , т.е. преобразовался во фронтальную прямую уровня. Следовательно, построены также натуральная величина отрезка и угол его наклона к плоскости проекций .

Па рис 4.46 показано преобразование прямой общего положения в горизонтальную прямую уровня. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую.

На рис. 4.47 показано преобразование фронтальной прямой в горизонтально-проецирующую прямую. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций расположив ось проекций перпендикулярно фронтальной проекции отрезка .

2-е действие. Построить горизонтальные совпадающие проекции и точек и отрезка в дополнительной плоскости проекций по координатам взятым из предыдущей системы .

В результате преобразования горизонтальный отрезок в дополнительной системе занял положение, перпендикулярное

дополнительной плоскости проекций , т.е. преобразовался в горизонтально-проецирующую прямую.

На рис. 4 48 показано преобразование горизонтальной прямой уровня во фронтально-проецирующую прямую. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций и выполнены аналогичные графические действия.

Задачи №3. Преобразование плоскости общею положения в проецирующую плоскость.

Чтобы понять сущность графических действий этого преобразования, напомним, что у проецирующих плоскостей, перпендикулярных или , одна из линий уровня -или фронталь, или горизонталь — является проецирующей прямой.

На рис. 4.49 показано, что у горизонтально-проецирующей плоскости , горизонтальная проекция которой вырождается в линию, фронталь плоскости занимает положение горизонтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна плоскости проекций (горизонтальная проекция вырождается в точку).

На рис 4.50 показано, что у фронтально-проецирующей плоскости , фронтальная проекция которой вырождается в линию, горизонталь плоскости занимает положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций (ее фронтальная проекция вырождается в точку).

На рис. 4.51 преобразование плоскости положения во фронтально-проецирующую плоскость Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости проекции горизонтали .

2-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей расположив ось проекций перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

3-е действие. Построить в дополнительной плоскости проекций фронтальную проекцию плоскости по координатам , взятым (проекция плоскости выродилась в прямую).

В результате преобразования плоскость общего положения в дополнительной системе заняла положение, перпендикулярное дополнительной плоскости проекций , т.е. преобразовалась во фронтально-проецирующую. Следовательно, построен также угол наклона плоскости к плоскости проекций .

На рис. 4.52 показано преобразование плоскости общего положения в горизонтально-проецирующую плоскость. Для решения задачи в плоскости проведены проекции фронтали . Введена дополнительная система плоскостей ось которой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №4. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня.

На рис. 4.53 показано преобразование фронтально-проецирующей плоскости в горизонтальную плоскость уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм.

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций расположив ось проекций параллельно вырожденной фронтальной проекции плоскости .

2-е. действие. Построить горизонтальную проекцию в дополнительной плоскости по координатам , взятым из предыдущей системы .

В результате преобразования фронтально-проецирующая плоскость в дополнительной системе заняла положение, параллельное дополнительной плоскости проекций т.е. преобразовалась в горизонтальную плоскостью уровня. Следовательно, построена натуральная величина этой плоскости.

На рис. 4.54 показано преобразование горизонтально-проецирующей плоскости во фронтальную плоскость уровня. Для решения задачи введена дополнительная система и выполнены аналогичные графические действия.

II. Способ вращения вокруг проецирующей оси (фронтально-проецирующей или горизонтально-проецирующей прямой):

Сущность способа в том, что предмет, занимающий общее положение относительно плоскостей проекций, вращают вокруг проецирующей оси, изменяя его положение в пространстве так, чтобы предмет занял частное положение относительно тех же плоскостей проекций, т.е. стал перпендикулярным (проецирующим) либо параллельным (уровня) плоскости проекций или .

На рис. 4.55 показана наглядная картина способа на примере вращения точки вокруг фронтально-проецирующей оси .

Точка перемещается в положение вращаясь по окружности вокруг фронтально-проецирующей оси в некоторой плоскости , перпендикулярной плоскости проекций .

На плоскость проекций эта окружность проецируется в прямую вращения .

Па плоскость проекций окружность вращения точки проецируется в окружность с центром в точке , которая является вырожденной проекцией фронтально-проецирующей оси вращения .

Па рис. 4.56 и 4.57 показаны примеры применения способа вращения вокруг проецирующей оси для построения натуральной величины отрезка общего положения

На чертеже натуральную величину имеют прямые уровня, параллельные плоскости проекций или (профильную прямую не рассматриваем). Характерный признак прямых уровня на чертеже — одна из проекций параллельна оси проекций : горизонтальная проекция для фронтальной прямой и фронтальная проекция для горизонтальной прямой.

Следовательно, для решения задачи отрезок общего положения нужно повернуть (вращать) вокруг проецирующей оси так. чтобы он занял положение, параллельное плоскости проекций или .

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Выбрать ось вращения , проходящую через любую конечную точку отрезка (на рис 4.56 фронтально-проецирующая ось вращения проведена через точку , и обозначить се проекции на чертеже.

2-е действие. Повернуть фронтальную проекцию точки вокруг оси по часовой стрелке (можно против) так, чтобы фронтальная проекция отрезка заняла горизонтальное положение параллельное оси проекций .

3-е действие. Построить натуральную проекцию отрезка , переместив горизонтальную проекцию точки перпендикулярно горизонтальной проекции оси вращения (параллельно оси проекций ) до пересечения с вертикальной линией связи от точки .

В результате преобразования отрезок занял положение горизонтальной прямой уровня.

!!! Конечная точка отрезка при вращении остается неподвижной, так как лежит на оси вращения .

На рис. 4.57 показано построение натуральной величины отрезка общего положения вращением вокруг горизонтально-проецирующей оси аналогичными графическими действиями (отрезок занял положение фронтальной прямой уровня).

Плоскопараллельное перемещение

Частный случай способа крашения вокруг проецирующей оси — вращение предмета без указания на чертеже осей вращения, который называют способом плоскопараллельного перемещения. Способ удобен тем, что повернутые вокруг предполагаемой проецирующей оси проекции предмета перемещают и располагают на свободном поле чертежа без взаимного их наложения.

На рис. 4.58 показано построение натуральной величины плоскости общего положения, заданной треугольником ABC, способом плоскопараллельного перемещения.

Для решения задачи плоскость должна занять положение плоскости уровня — или фронтальной , или горизонтальной . Следовательно, плоскость нужно вращать и одновременно перемешать по полю чертежа, чтобы она последовательно заняла сначала проецирующее положение, а затем положение плоскости уровня.

Для двух последовательных преобразований нужно выполнить следующий графический алгоритм.

Первое перемещение. Плоскость общего положения вращением вокруг предполагаемой, например, горизонтально-проецирующей, оси преобразовать во фронтально-проецирующую плоскость, выполнив следующие графические действия:

1-е действие. Провести в плоскости горизонталь .

2-е действие. Повернуть горизонтальную проекцию треугольника, вращая вокруг предполагаемой горизонтально-проецирующей оси (например, проходящей через точку ) и одновременно перемещая вправо на свободное поле чертежа так, чтобы горизонталь плоскости заняла положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. должна расположиться перпендикулярно оси . Повернутую проекцию треугольника относительно проекции горизонтали / построить с помощью дуговых засечек, на пересечении которых определяются вершины.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию треугольника, переместив заданные фронтальные проекции вершин треугольника параллельно оси проекций до пересечения с вертикальными линиями связи от точек и повернутой проекции: фронтальная проекция выродилась в линию, т.е. треугольник преобразовался во фронтально-проецирующую плоскость.

Второе перемещение. Плоскость фронтально-проецирующую вращением вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси преобразовать в горизонтальную плоскость уровня, продолжая графические действия.

4-е действие. Повернуть построенную вырожденную проекцию треугольника, вращая вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси, проходящей через точку , и одновременно перемещая вправо на свободное ноле чертежа так, чтобы эта проекция расположилась параллельно оси проекций : проекция оси .

5-е Действие. Построить новую горизонтальную проекцию треугольника, переместив горизонтальные проекции и вершин треугольника параллельно оси проекций до пересечения вертикальными линиями связи от фронтальных проекций и вершин; построенная горизонтальная проекция треугольника и есть его натуральная величина, так как после второго перемещения треугольник преобразовался в горизонтальную плоскость уровня.

III. Способ вращения вокруг прямой уровня — горизонтальной или фронтальной прямой.

Сущность способа в том, что плоскость общего положения изменяет свое положение в пространстве относительно плоскостей проекций вращением вокруг линии уровня до положения, параллельного плоскости проекций (или ).

На рис. 4.59 показана наглядная картина вращения плоскости общего положения вокруг горизонтальной прямой. Пусть сторона , треугольника , лежит в плоскости , параллельной плоскости проекций . и является горизонтальной прямой , вокруг которой и будет повернута плоскость .

Поскольку вершины и треугольника лежат на оси вращения и, следовательно, неподвижны, то требуется повернуть вокруг прямой уровня только вершину так, чтобы она совместилась с плоскостью . Вершина вращается вокруг горизонтальной прямой (стороны ) в плоскости перпендикулярной оси вращения .

После поворота треугольник лежит в плоскости и, следовательно. параллелен плоскости . Точка имеет радиус вращения и на плоскость у этот радиус проецируется в натуральную величину.

Рассмотрим проекцию этой картины на плоскость проекций . На горизонтальной проекции видно, что натуральную величину треугольника определяет натуральная величина радиуса вращения точки .

На рис. 4.60 показано построение на чертеже натуральной величины плоскости способом вращения вокруг-горизонтальной прямой уровня . В ком случае выполняется вращение горизонтальной проекции треугольника, т.е. вращение выполняется относительно плоскости проекций, которой параллельна ось вращения.

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. К заданной плоскости провести проекции горизонтали , которая является осью вращения.

2-е действие. Провести следы плоскостей и перпендикулярно в которых будут вращаться вершины и вокруг оси вращения точка будет неподвижна, так как лежит на оси вращения.

3-е действие. Определить проекции отрезка , т.е. радиуса вращения точки вокруг горизонтали , и построить любым рассмотренным графическим способом натуральную величину радиуса вращения . В примере натуральная величина построена способом вращения отрезка общего положения вокруг фронтально-проецирующей оси, вырожденная проекция которой совпадает с проекцией точки (см. рис. 4.56).

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса вращения повернуть и расположить на следе плоскости в которой вращается точка треугольника, построив вершину в повернутом положении.

5-е действие. Достроить повернутую проекцию треугольника , определив повернутую проекцию вершины на пересечении следа плоскости вращения с прямой, проходящей через точки и , т.е. натуральную величину радиуса вращения для точки определять нет необходимости: ее повернутое положение определяется графическим построением.

В результате преобразования проекция треугольника заняла положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций , и, следовательно, определяет его натуральную величину

!!! Построение на чертеже натуральной величины плоскости вращением вокруг фронтальной прямой уровня выполняется аналогичными графическими действиями, только вращать следует фронтальную проекцию треугольника, так как ось вращения параллельна фронтальной плоскости проекций. Треугольник после вращения занимает положение фронтальной плоскости уровня, которая определяет его натуральную величину.

Образец выполнения листа 3 с задачами 5 и 6 показан на рис. 4 61, а и Г). Задачи выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги

Задача №5 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружное!и, описанной вокруг плоскости общего положения , способом замены плоскостей проекций.

Bарианты 16-30. Построить проекции центра сферы радиусом 20 мм, вписанной в плоский угол , способом замены плоскостей проекций.

Задача №6 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданной плоскости общего положения , способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 1 6-30. Построить натуральную величину заданного угла способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные для своего варианта взять из табл. 4.4. Условия всех вариантов представлены координатами и точек и .

По заданным координатам точек построить на левой и правой половине поля чертежа графическое условие задач — проекции плоскости общего положения, заданной треугольником . В таблице для каждого варианта указаны линии, относительно которых нужно выполнять преобразование чертежа для 5-й и 6-й задач.

План графических действий для решения задачи 5 (по вариантам 1-15).

Для определения центра окружности, описанной вокруг заданного треугольника , плоскость треугольника должна занять положение плоскости уровня -горизонтальной или фронтальной. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня можно двумя последовательными заменами плоскостей проекций (см. задачи 3 и 4 преобразования способом замены, рис. 4.51-4.54). Для решения задачи выполнены следующие графические действия:

Вторая замена.

2-е действие Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций , расположив ось проекций перпендикулярно фронтальной проекции фронтали .

3-е действие. Построить горизонтальную проекцию на дополнительной плоскости по координатам у из системы . Плоскость спроецировалась в прямую (выродилась в линию), т.е. преобразовалась в горизонтально-проецирующую плоскость, перпендикулярную дополнительной плоскости проекций .

4-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций и расположив ось проекций параллельно построенной (вырожденной) проекции треугольника .

5-е действие. Построить фронтальную проекцию плоскости на дополнительной плоскости проекций по координатам из предыдущей системы : построенная проекция является натуральной величиной треугольника , так как плоскость преобразовалась во фронтальную плоскость уровня, параллельную дополнительной плоскости проекций .

6-е действие. Определить центр окружности (точку ), описанной вокруг треугольника , который находится на пересечении перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника,

7-е действие. Обратным проецированием определить проекции построенного центра описанной окружности на заданных проекциях треугольника, используя вспомогательную линию , на которой лежит точка .

План графических действий для решения задачи 6 (по вариантам I 15).

Натуральную величину определяет только плоскость уровня. Следовательно, заданную плоскость общего положения нужно преобразовать вращением вокруг линии уровня в плоскость уровня, например, в горизонтальную. Для решения задачи на чертеже выполнены следующие графические действия

1-е действие. Провести в заданной плоскости проекции горизонтали следовательно, вращать следует горизонтальную проекцию треугольника.

2-е действие. Провести следы плоскостей и , в которых будут вращаться точки и перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали .

3-е действие. Определить проекции отрезка , т.е. проекции радиуса вращения точки вокруг горизонтали , и построить способом вращения вокруг фронтально проецирующей оси натуральную величину отрезка .

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса повернуть и расположить на следе плоскости , в которой вращается точка построив вершину .

5-е действие. Достроить повернутую проекцию треугольника , которая определяет его натуральную величину. Вершина определяется на пересечении следа плоскости и прямой, проходящей через точки и (без построения натуральной величины ).

!!! Внимание. К листу 3 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 5 и 6.

Многогранники, призма и пирамиды

Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого ограничена плоскостями (гранями). Многогранник называют четырех-, пяти-, шестигранником и т.д. по количеству граней (включая основания), образующих его поверхность На чертеже многогранник задают проекциями его граней и ребер (ребро — линия пересечения граней).

Рассмотрим призму и пирамиду — геометрические многогранники (тела), которые часто применяются при формообразовании различных деталей. Основанием призмы и пирамиды может быть любой многоугольник, по количеству сторон которого призму и пирамиду называют треугольной, четыреч-угольной и т.д. Такое название более соответствует изображению этих много-гранников на чертеже, по которому определяется многоугольник основания, что позволяет создать в воображении соответствующий пространственный образ.

Призма как геометрическое тело имеет два параллельных основания, боко-вые грани и параллельные ребра. Призму называют правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники, вписанные в окружность. Призму называю! прямой, если ее ребра перпендикулярны основанию, и наклонной, если ребра не перпендикулярны основанию

Пирамида как геометрическое тело имеет одно основание и вершину, обьединяющую все ее ребра. Пирамиду называю! правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, вписанный в окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности (т.е. пирамида прямая).

Пирамида может быть наклонной, если основание высоты не лежит в центре окружности, в которую вписан многоугольник основания пирамиды. Пирамида со срезанной вершиной имеет два основания и называется усеченной.

• Построение проекций прямой правильной призмы
• Построение проекции правильной пирамиды
• Построение проекции точек, лежащих на поверхности пирамиды
• Построение проекций пирамиды со срезами плоскостями частного положения

Задача №7.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задача №8.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции правильной пирамиды со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задачи 7 и 8 выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

Графические условия вариантов задач 7 и 8 взять из табл. 4.5.

План графических действий для решения задачи 7 (рис. 4.66, а) соответствует предложенному графическому алгоритму (к рис. 4.64).

1-е действие. На левой половине чертежа построить тонкими сплошными линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы без срезов по графическому условию и размерам шестиугольную призму заданной высоты . Затем выполнить на ее фронтальной проекции заданные срезы плоскостями частного положения: срезы фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью и сквозной паз. образованный двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями .

Базовую ось (б.о.) на горизонтальной проекции и базовую ось для профильной проекции взять на осях симметрии горизонтальной и профильной проекций. Обозначить ребра буквами и (на нижнем основании призмы).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами и гранями призмы:

• совпадающие точки лежат на ребрах и ;
• совпадающие точки лежат на ребрах и ;
• совпадающие точки лежат на гранях и и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей среза и ,
• совпадающие точки лежат на верхнем основании и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости среза с плоскостью верхнего основания призмы;

совпадающие точки и лежат па сторонах нижнего основания призмы и определяют вырожденные в точки проекции фронтально-проецирующих линий пересечения боковых плоскостей паза ч с плоскостью нижнего основания призмы;

совпадающие точки лежат на ребрах и и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей паза .

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет шестиугольник — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости среза , обозначенные точки которой лежат на рёбрах и гранях призмы:

• отрезок — видимая проекция линии пересечения плоскостей срезов, обозначенные точки которой лежат на гранях призмы.

1. Плоскость среза определяет видимый отрезок — вырожденная в линию проекция профильной плоскости среза обозначенные точки которой лежат на гранях призмы.
2. Плоскости паза определяют искаженные но величине невидимые четырехугольники и , обозначенные точки которых лежат на ребрах и сторонах нижнего основания призмы.

!!! Поскольку горизонтальная проекция призмы относительно базовой линии (б.о.) имеет вертикальную симметрию, указанные точки обозначены на одной ее половине (верхней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения се очерка и внутреннего контура:

1. Горизонтальный очерк определяет шестиугольник основания

1. Внутренний контур определяют видимый и невидимые отрезки и .

5-е действие. Достроить профильную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет шестиугольник — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости среза :

• точки и лежат соответственно на ребрах и ;
• точки построены но координате .

1. Плоскость среза определяет прямоугольник — видимая натуральная величина профильной плоскости среза .

• точки построены;
• точки построены на верхнем основании призмы по координате .

1. Плоскости паза определяют невидимые совпадающие четырехугольники и — искаженные по величине проекции двух фронтально-проецирующих плоскостей паза :

• точки и построены на нижнем основании призмы по координатам
• точки — лежат на ребрах и .

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура:

1. Профильный очерк определяют:

• справа и слева — участки ребер и , ломаные линии и ;
• сверху — отрезок — участок верхнего основания призмы;
• снизу — совпадающие отрезки и — участки нижнего основания призмы.

1. Внутренний контур определяю!;

• невидимые линии продолжений невидимых ребер и ,
• невидимые линия пересечения плоскостей паза ,
• видимый отрезок (линия пересечения плоскости среза с гранью );
• видимый отрезок — линия пересечения плоскостей среза и видимые отрезки и ребер и .

7-е действие. Оформить чертеж призмы, выполнив сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (оставить тонкими сплошными линиями контуры проекций призмы без срезов и линии построения).

План графических действий решения задачи 8 (рис. 4.66, Г)) соответствует предложенному алгоритму (к рис. 4.65).

1-е действие. Построить на правой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции правильной пирамиды без срезов по заданному графическому условию — треугольную пирамиду заданной высоты. Затем выполнить на ее фронтальной проекции заданный срез фронтально-проецирующей плоскостью и сквозной паз, образованный горизонтальной плоскостью , фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью .

Базовую ось (6.0.) на горизонтальной и базовую ось на профильной проекции взять на осях симметрии горизонтальной и профильной проекции пирамиды. Обозначить буквами и вершины основания пирамида.

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции точки пересечения плоскостей срезов с ребрами, гранями пирамиды и основанием:

• точка лежит на ребре ;
• совпадающие точки лежат на ребрах и и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения плоскостей среза с гранью ;
• совпадающие точки лежат на сторонах и основания и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения основания с плоскостью паза ;
• совпадающие точки и лежат на боковых гранях и и определяют вырожденные в точки фронталью-проецирующие линии пересечения плоскостей паза и и и ;
• совпадающие точки лежат на сторонах основания и и определяют вырожденную в точку фронтально-проецирующую линию пересечения основания с профильной плоскостью паза .

!!! Поскольку горизонтальная проекция пирамиды имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной сс верхней половине.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию пирамиды со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет треугольник — искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости .

точки и лежат соответственно на ребрах и .

1. Плоскость паза определяет четырехугольник — натуральная величина невидимой горизонтальной плоскости .

• точки и лежат на гранях пирамиды и и построены с помощью вспомогательной линии параллельной основанию.

1. Плоскость паза определяет четырехугольник — искаженная по величине невидимая проекция фронтально-проецирующей плоскости :

• точки построены;
• точки лежат на сторонах основания и .

1. Плоскость паза определяют совпадающие невидимые отрезки и — вырожденная в прямую невидимая проекция профильной плоскости (участки 6-5′- видимые):

• точки построены;
• точки лежат на сторонах основания и .

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура:

1. Горизонтальный очерк определяют:

• участки и стороны основания :
• сторона основания :

• участки и стороны основания :
• ломаные линии пересечения плоскостей паза с гранями пирамиды и .

1. Внутренний контур определяют:

• видимый участок ребра ;
• видимые участки и ребер и ,
• невидимые отрезки и пересечения плоскостей паза и и :
• невидимые отрезки и пересечения плоскостей паза и с основанием пирамиды.

5-е действие. Достроить профильную проекцию пирамиды, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет треугольник искаженная по величине видимая проекция плоскости среза :

-точки и лежат на соответствующих профильных проекциях ребер и

1. Плоскость среза определяет частично невидимый горизонтальный отрезок точки которой построены по координатам и и который является вырожденной проекцией профильной плоскости паза (участки — видимые).
2. Плоскость среза определяет четырехугольник — искаженная по величине невидимая проекция фронтально-проецирующей плоскости :

• точки построены;
• точки построены но координате (отрезки ребру )).

1. Плоскость среза определяет четырехугольник — натуральная величина частично невидимой проекции профильной плоскости паза (участки видимые):

-точки и построены;

• точки построены по координатам .

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура:

Профильный очерк определяют:

• справа — участок ребра ;
• слева — участок ребра :
• снизу — сторона основания ;
• сверху — отрезок (линия пересечения плоскости среза с гранью пирамиды ).

1. Внутренний контур определяют:

• видимые отрезки ;
• видимые ломаные линии (на гранях пирамиды);
• невидимый отрезок :
• видимый участок ребра .

7-е действие. Оформить чертеж пирамиды, выполнив толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой проекции (тонкими линиями оставить на чертеже полные контуры проекций пирамиды без срезов и вспомогательные линии построения).

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (образующей поверхности) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. При этом образующая, вращаясь вокруг оси вращения, может пересекать окружность, называемую направляющей поверхности Образующей поверхности вращения может быть кривая или прямая линия. Поверхность вращения называют линейчатой, если ее образующей является прямая линия, и криволинейной, если образующая — кривая линия.

На рис. 4.67 показана поверхность вращения общего вида, образующая которой (кривая линия) вращается вокруг горизонтально-проецирующей оси . Все точки образующей вращаются вокруг оси по окружностям соответствующего радиуса, которые называют параллелями поверхности. На фронтальную и профильную проекции поверхности эти параллели проецируются в прямые линии, перпендикулярные оси вращения. На горизонтальную проекцию параллели проецируются в виде окружностей. Некоторые параллели имеют определенные общепринятые наименования:

горло поверхности — параллель наименьшею (минимального) радиуса; -экватор — параллель наибольшего (максимального) радиуса.

Проекции поверхности вращения:

• горизонтальная проекция, т.е. ее горизонтальный очерк, определяется окружностью экватора ;
• фронтальная проекция, т.е. ее фронтальный очерк, образуется замкнутой линией главного фронтального меридиана . полученного при пересечении этой поверхности фронтальной плоскостью уровня , проходящей через ось вращения ;
• профильная проекция, т.е. ее профильный очерк, образуется замкнутой линией главного профильного меридиана полученною при пересечении этой поверхности профильной плоскостью уровня , проходящей через ось вращении /.

Построение проекций точек но поверхности вращения

Принадлежность точки поверхности вращения определяется ее принадлежностью параллели, по которой точка вращается вокруг оси вращения.

Проекции точек, лежащих на экваторе или на главных фронтальном и профильном меридианах поверхности, строятся по их принадлежности этим характерным линиям.

На рис. 4.67 показан пример построения невидимой фронтальной проекции характерной точки , лежащей на экваторе , по ее заданной горизонтальной проекции и построение профильной проекции характерной точки , лежащей на главном профильном меридиане , по ее заданной фронтальной проекции.

Для построения проекций точки , заданной своей фронтальной проекцией и не лежащей на характерных линиях поверхности, требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести через заданную фронтальную проекцию точки параллель, которая имеет радиус .

2-е действие. Провести на горизонтальной проекции поверхности окружность-параллель радиусом .

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную видимую проекцию точки по ее принадлежности построенной параллели радиусом .

4-е действие. Построить профильную проекцию точки на горизонтальной линии связи по координате (лежит на невидимой части поверхности, проекция взята в скобки).

Видимость точек на проекциях поверхности вращения

На рис. 4.67 показаны границы видимое!и поверхности для каждой проекции по направлению взгляда на плоскости проекций и

Видимость точек на проекциях поверхности определяется этими границами, т.е. видимостью части поверхности на каждой проекции: если часть поверхности является по направлению взгляда на соответствующую плоскость проекций видимой, то точка на этой проекции будет также видимой.

На рис 4.67 видно, что горизонтальная проекция заданной точки , лежащей на экваторе, расположена на невидимой части поверхности при взгляде на фронтальную плоскость проекций Следовательно, ее фронтальная проекция лежит на экваторе, но будет невидимой (проекция взята в скобки). Профильная проекция точки будет видимой, так как точка лежит на видимой для профильной проекции части поверхности (см. взгляд по стрелке на плоскость ). Поскольку заданная фронтальная проекция точки , лежащей на фронтальной проекции главною профильною меридиана, не взята в скобки, значит, она лежит на видимой для фронтальной проекции части поверхности и профильная проекция точки должна лежать на профильной проекции главного меридиана справа от оси вращения. Горизонтальная же проекция точки (на рисунке не построена) по направлению взгляда на горизонтальную плоскость проекций будет невидима, так как расположена под экватором. Соответственно, профильная проекция точки будет невидимой, так как лежит на невидимой для профильной проекции части поверхности.

!!! К поверхностям вращения относятся две линейчатые поверхности с прямолинейными образующими цилиндр и конус, а также поверхности с криволинейными образующими — сфера (образующая — окружность), эллипсоид (образующая — эллипс), одно- и двуполостные гиперболоиды (гипербола), параболоид (парабола), торовыс (окружность) Все перечисленные виды поверхностей вращения, кроме торовых, являются поверхностями второго порядка (по порядку образующей или направляющей).

Торовыс поверхности вращения относятся к поверхностям четвертого порядка (по произведению порядков двух окружностей — образующей и направляющей).

Цилиндрическая поверхность вращения. Прямой круговой цилиндр

Цилиндрическая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная параллельным перемещением прямолинейной образующей вокруг оси вращения, которая пересекает криволинейную направляющую окружность. Геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения (боковой поверхностью) и двумя параллельными секущими плоскостями (основаниями), перпендикулярными оси вращения, называют цилиндром.

Цилиндр называют круговым, поскольку направляющей является окружность, перпендикулярная оси цилиндра.

Цилиндр называют прямым, если ось вращения цилиндра перпендикулярна его основаниям.

Прямой круговой цилиндр по положению относительно плоскостей проекций называют проецирую щ и м , если его боковая поверхность (или ось вращения) перпендикулярна какой-либо плоскости проекций:

• горизонтально-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций ,
• фронтально -проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна фронтальной плоскости проекций ,
• профильно-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна профильной плоскости проекций

Построение проекции прямого кругового цилиндра

На рис. 4.68 показан пример построения проекций прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра заданной высоты с горизонтальными основаниями заданного радиуса

Для построения проекций цилиндра требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке.

1-е действие. По заданному условию построить горизонтальную проекцию (очерк) цилиндра, которая представляет собой окружность заданного радиуса .

2-е действие. Выпол-нить графический анализ построенной горизонталь-ной проекции цилиндра:

1. Окружность является горизонтальной проекцией боковой поверхности, так как образующие этого цилиндра — горизонтально-проецирующие прямые.

1. Круг заданного радиуса совпадающие горизонтальные проекции оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня
2. Обозначить вырожденные в точки проекции характерных образующих цилиндра и , которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций цилиндра

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) цилиндра, которая представляет собой прямоугольник, ограниченный:

• слева и справа — вертикальными отрезками — характерными очерковыми образующими и :
• по заданной высоте — горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня;
• фронтальными проекциями характерных образующих и , которые совпадаю! с осью вращения цилиндра .

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) цилиндра:

1. Задать на окружности горизонтальной проекции цилиндра положение базовой линии (б.о ), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности, т.е. проходящей через ось вращения .
2. Выбрать положение базовой оси (6.0.), которая будет совпадать с вертикальной осью вращения на профильной проекции цилиндра.
3. Профильная проекция цилиндра представляет собой прямоугольник, ограниченный:

• слева и справа вертикальными отрезками — характерными очерковыми образующими и . построенными по координате
• по заданной высоте горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований,
• профильными проекциями характерных образующих и , которые совпадают с осью вращения цилиндра .

!!!Запомните характерные признаки очерков прямого кругового цилиндра на чертеже окружность и два прямоугольника.

Построение проекции точек, лежащих на поверхности цилиндра

Принадлежность точки поверхности цилиндра определяется ее принадлежностью образующей этого цилиндра

На рис. 4.68 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек и , лежащих на образующих боковой поверхности цилиндра по их заданным фронтальным проекциям.

Горизонтальные проекции и заданных точек лежат на окружности радиуса , которая является проекцией боковой поверхности цилиндра.

Профильные проекции точек строятся по их принадлежности образующим цилиндра:

• точка лежит на характерной образующей — видимая;
• две точки лежат на характерных образующих и ;
• точка построена по координате , так как лежит не на характерной образующей (видимая)!
• точка построена по координате (невидимая).

Цилиндрические сечения

1. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, если она расположена параллельно оси вращения цилиндра (см. плоскость на рис 4.69).
2. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по эллипсу, если она расположена к оси вращения цилиндра под углом . отличным от прямого (см. на рис. 4.69 плоскость )
3. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по окружности, если она перпендикулярна оси вращения цилиндра (окружности основании).

• Построение проекций цилиндра со срезами и плоскостями частного положения
• Коническая поверхность вращения

Задача №9.

Построить проекции прямого кругового цилиндра со срезами плоскостями частного положения

Задача №10.

Построить проекции прямого кругового конуса со срезами плоскостями частного положения.

Графические условия задач но вариантам даны втабл 4.6

Задачи выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

На рис. 4.78, а приведен пример построения проекций прямого кругового цилиндра со срезами плоскостями частного положения

План графических действий для решения задачи 9 соответствует предложенному графическому алгоритму (см. описание к рис. 4 69):

1-е действие. На левой половине поля чертежа тонкими сплошными линиями построить по заданному диаметру и высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового цилиндра без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные по условию срезы плоскостями частного положения.

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графический анализ сечений:

1. Профильная плоскость пересекает поверхность цилиндра по прямоугольнику 1-2-2-1.

1. Фронтально-проецирующая плоскость пересекает поверхность цилиндра но участкам эллипса 2-3-4.
2. Профильная плоскость пересекает поверхность цилиндра по прямоугольнику 4-5-5-4.
3. Горизонтальная плоскость пересекает поверхность цилиндра по участку окружности 6-7-8.
4. Профильная плоскость пересекает поверхность цилиндра по прямоугольник) 8-9-9-8.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию цилиндра, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек, и определить видимости плоскостей срезов:

1. Плоскости срезов и определяют видимые отрезки и -вырожденные в прямые проекции профильных плоскостей и .

1. Плоскость среза определяет невидимый отрезок , совпадающий с видимым отрезком .

2. Плоскость среза определяют участки эллипса, совпадающие с окружностью вырожденной боковой поверхности цилиндра;

1. Плоскость среза определяет участок окружности , совпадающий с окружностью вырожденной боковой поверхности.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения ее очерка и внутреннею контура:

1. Горизонтальный очерк определяет окружность горизонтальной проекции.
2. Внутренний контур определяют видимые отрезки проекций плоскостей срезов и .

!!! Поскольку горизонтальная проекция цилиндра имеет вертикальную симметрию относительно базовой оси, точки отмечены на одной ее половине (верхней).

5-е действие. Достроить профильную проекцию цилиндра, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям отмеченных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

Плоскости срезов и определяю профильные проекции прямоугольников и :

видимые образующие и построены по равной для всех точек координате

1. Плоскость среза определяют видимые участки эллипса

• точки и построены;
• точки лежат на очерковых образующих;
• промежуточные точки построены но координате .

1. Плоскость среза определяет видимый горизонтальный отрезок : точка лежит на образующей, совпадающей с осью;

точки лежат на очерковых образующих;

• точки построены.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

1. Профильный очерк определяют:

• горизонтальный отрезок верхнего основания цилиндра;
• отрезок нижнего основания;
• участки очерковых образующих цилиндра;

-участки образующих ;

• горизонтальные участки (проекция плоскости среза );
• участки эллипса.

1. Внутренний контур определяют:

• невидимые горизонтальные отрезки и пересечения плоскостей срезов и и ;
• видимый горизонтальный отрезок — проекция плоскости среза

7-е действие. Оформить чертеж цилиндра, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимее линии ее внутреннего контура каждой проекции (оставить топкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

На рис. 4.78, и показан пример построения проекций прямого кругового конуса со срезами плоскостями частного положения.

План графических действий для решения задачи 10 соответствует предложенному графическому алгоритму (см. описание к рис. 4 77).

1-е действие. Построить на правой половине чертежа тонкими сплошными линиями по заданному диаметру основания и высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные по условию срезы и сквозной паз плоскостями частного положения.

2-е действие Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графический анализ сечений.

Фронтально-проецирующая плоскость проходит через вершину конуса и пересекает его поверхность по треугольнику (по образующим , случай I).

1. Фронтально-проецирующая плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого, и образует на его поверхности неполный эллипс 1-2-0-3 (случаи 5).
2. Горизонтальная плоскость паза расположена к оси конуса под прямым углом и пересекает его поверхность по участкам окружности 5-6-5 (случай 2).
3. Две симметричные боковые профильные плоскости паза расположены параллельно двум образующим конуса и и пересекают его поверхность по участкам гипербол 4-5 (случаи 4);

Горизонтальная плоскость и две профильные плоскости образуют в конусе сквозной прямоугольный паз.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек, и определить видимость плоскостей срезов

Плоскость а определяет треугольник , построенный по образующим которым принадлежат точки и ограничен видимыми участками этих образующих и невидимой линией пересечения плоскостей срезов и .

1. Плоскость определяет видимый участок эллипса построенный по принадлежности обозначенных точек вспомогательным параллелям (точка построена по принадлежности образующей ).
2. Плоскость определяют видимые участки окружности , по которой плоскость пересекает поверхность конуса.
3. Плоскости определяют видимые вертикальные отрезки вырожденные проекции профильных плоскостей (отрезки — невидимые):

точки построены по принадлежности окружности основания конуса.

• точки — построены.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура:

Горизонтальный очерк определяют два участка очерковой окружности слева и справа от точек .

1. Внутренний очерк определяют:

-видимые участки образующих ,

• видимый участок эллипса;
• видимые отрезки проекций гипербол в плоскостях .
• невидимый отрезок пересечения плоскостей и ;
• невидимые отрезки пересечения плоскостей паза и .

5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям отмеченных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

Плоскость среза определяет видимый треугольник , точки которого построены по принадлежности образующим .

1. Плоскость среза определяет видимый участок эллипса :

-точки построены;

-точки лежат на характерных образующих и ;

• точки построены по координатам ;
• точка 3 лежит на характерной образующей .

1. Плоскость паза определяет проекция невидимою горизонтального отрезка (участки — видимые), точки которою лежат на очерковых образующих и ;
2. Плоскость паза определяют видимые участки гипербол , точки которых построены но координате .

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

Профильный очерк определяют:

• слева и справа — участки образующих и ;
• снизу — участок основания конуса;

-участки образующих ;

-участки эллипса.

1. Внутренний контур определяют:

• видимый отрезок пересечения плоскостей среза и ;
• видимый участок эллипса;
• невидимый отрезок — проекция плоскости паза .

7-е деиетвие. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимые линии внутреннею контура каждой проекции (оаавить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Поверхности вращении. Сферический поверхность

При вращении окружности вокруг ее диаметра образуется поверхность вращения, называемая сферой. Сферическая поверхность — геометрическое место точек, равноудаленных от ее центра. Сфера — единственная геометрическая поверхность, которая имеет бесконечное число осей, проходящих через ее центр, что удобно использовать при построении проекций точек на ее поверхности и при решении различных позиционных задач с геометрическими формами, в образование которых входит сфера.

Геометрическое тело, ограниченное сферой, называют шаром.

Проекции шара и проекции его очерковых окружностей

Все три очерка шара — фронтальный, горизонтальный и профильный -представляю! собой окружности одного диаметра с центром в точке это характерный признак проекций шара на чертеже (рис. 4.79). Каждая точка на поверхности шара описывает вокруг соответствующей оси окружности, называемые параллелями.

Фронтальный очерк шара — окружность — называется главным фронтальным меридианом, который лежит во фронтальной плоскости уровня его горизонтальная проекция это горизонтальная прямая, а профильная проекция вертикальная прямая, проходящие через центр шара.

Горизонтальный очерк шара — это окружность , то есть экватор шара, лежащий в горизонтальной плоскости уровня и его фронтальная и профильная проекции горизонтальные прямые, проходящие через центр шара

Профильный очерк шара — это окружность главного профильного меридиана, лежащего в профильной плоскости , его фронтальная и горизонтальная проекции — вертикальные прямые, проходящие через центр шара.

!!! ‘Запомните характерные признаки шара на чертеже — три очерковые окружности одного диаметра.

1. Построение проекции точек па поверхности шара
2. Построение проекции тара со срезами плоскостями частного положения
3. Поверхности вращения. Тор поверхность
4. Построение проекции открытого тора
5. Построение проекции точек, лежащих на поверхности тора
6. Сечения тор с плоскостями частного положения

Задача №11.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции шара со срезами заданными плоскостями частного положения.

Задача №12.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции половины открытого тора со срезами плоскостями частного положения.

Графические условия задач по вариантам даны в табл. 4.7.

Задачи выполнять на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

На рис. 4.87, а показан пример построения проекций шара со срезами плоскостями частного положения.

План действий для решения задачи 11 соответствует предлагаемому графическому алгоритму:

1-е действие. По заданному диаметру построить на левой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции шара без срезов, а затем выпилить на ею фронтальной проекции заданные срезы горизонтальной плоскостью профильной плоскостью и фронтально-проецирующей плоскостью .

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графический анализ сечений:

1. Горизонтальная плоскость пересекает поверхность шара по участку окружности 1-2-3 радиусом , которая проецируется в окружность па горизонтальную проекцию шара, и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией 3-3 пересечения плоскостей срезов и .
2. Профильная плоскость пересекает поверхность шара по участкам окружности 3-4 радиусом , которая проецируется в окружность на профильную проекцию шара, и ограничена вырожденными в точки и двумя фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей паза:

• линия 3-3 — пересечение плоскостей срезов и
• линия 4-4 — пересечение плоскостей срезов и и .

1. Фронтально-проецирующая плоскость пересекает поверхность шара по участку окружности 4-5-6-7, которая проецируется в участок эллипса на горизонтальную и профильную проекции шара и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения плоскостей срезов и .

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию шара, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимости плоскостей срезов.

Плоскость среза определяет видимый участок окружности (ее точки лежат на круговой параллели радиусом ), который ограничен вертикальным невидимым отрезком — проекцией линии пересечения плоскостей срезов и .

1. Плоскость среза определяет частично невидимый отрезок в который проецируется профильная плоскость:

точки построены;

• точки лежат на проекции экватора; участки отрезка над экватором видимые.

1. Плоскость среза определяет частично видимый эллипс в который проецируется плоскость у. он ограничен отрезком — проекцией линии пересечения плоскостей среза и :

• точки построены;

точки и построены по принадлежности соответствующим горизонтальным параллелям;

• точка лежит на проекции главного фронтального меридиана.

!!! Поскольку горизонтальная проекция шара имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции шара дня определения ее очерка и внутреннего контура:

1. Горизонтальный очерк определяют:

• участок экватора ;
• участок окружности в плоскости а и участок эллипса в плоскости у.

1. Внутренний контур определяют :

• невидимый участок эллипса;
• невидимый отрезок .

5-е действие. Достроить профильную проекцию шара, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

Плоскость среза определяет видимый отрезок в который проецируется горизонтальная плоскость, точки которого лежат на главном профильном меридиане.

1. Плоскость среза определяют видимые участки окружности, построенной по профильной параллели радиусом (ось вращения ): плоскость ограничена двумя видимыми отрезками и — проекциями линий пересечения плоскостей срезов и , и .

1. Плоскость среза у определяет видимый участок эллипса точки которого построены по принадлежности соответствующим параллелям:

• точки построены;
• точки построены по принадлежности профильной параллели;
• точки лежат на главном профильном меридиане;
• точка лежит на проекции главного фронтального меридиана.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

Профильный очерк шара определяют: -участок главного профильного меридиана -участок главного профильного меридиана -участки окружности

• участки эллипса

1. Внутренний контур определяют:

• видимые отрезки и пересечения плоскостей срезов и , и : видимый участок эллипса .

7-е действие. Оформить чертеж шара, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой проекции (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

На рис. 4.87, б показан пример построения проекций открытого тора со срезами плоскостями частного положения

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму (к рис. 4.86):

1-е действие. По заданным размерам построить на правой половине чертежа тонкими линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции половины открытого тора без срезов, а затем выполнить на его фронтальной и горизонтальной проекциях заданные по условию срезы фронтально-проецирую-щей плоскостью и горизонтально-проецирующей плоскостью

2-е действие. Обозначить на фронтальной и горизонтальной проекциях тора характерные и промежуточные точки и выполнить графический анализ плоскостей срезов:

1. Фронтально-проецирующая плоскость пересекает поверхность тора по участку волнообразной кривой (соответствует сечению 2).
2. Горизонтально-проецирующая плоскость пересекает поверхность тора по кривой 4-го порядка .

3-е действие. Достроить горизонтальную и фронтальную проекции тора и определить видимость плоскостей срезов:

1. Достроить горизонтальную проекцию тора, построив участок видимой волнообразной кривой но проекциям обозначенных точек и , принадлежащих параллелям и основанию тора (алгоритм I, см. рис. 4.84); кривая ограничена линией пересечения плоскости среза с окружностью основания
2. Достроить фронтальную проекцию тора, построив участок видимой кривой среза горизонтально-проецирующей плоскостью по проекциям обозначенных точек и по их принадлежности параллелям и основанию (алгоритм И , рис. 4 84).

4-е действие. Выполнить графический анализ достроенных проекций и определить их очерки и внутренний контур.

Фронтальный очерк определяют:

• отрезок — проекция плоскости среза ,

-участок очерковой окружности ,

• внутренняя очерковая окружность ;
• проекции (прямые) окружностей основания ,

-участок проекции достроенной кривой в плоскости .

1. Внутренний контур фронтальной проекции определяет видимый участок кривой пересечения поверхности тора с плоскостью среза
2. Горизонтальный очерк определяют:

• отрезок — проекция плоскости среза ,
• сверху — участок очерковой параллели (с частью окружности) и участок волнообразной кривой;
• снизу — участок очерковой параллели и участок волнообразной кривой.

1. Внутренний контур горизонтальной проекции определяют: видимый участок волнообразной кривой ;

• невидимые участки окружностей оснований .

5-е действие. Достроить профильную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

Плоскость среза or определяет видимый участок волнообразной кривой построенной по принадлежности точек и характерным линиям тора, а точка построена по координате .

1. Плоскость среза определяет невидимый участок кривой среза построенный по принадлежности точек и соответствующим характерным линиям тора, а точки и построены по координатам и .

6-е действие. Выполнить фактический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

1. Профильный очерк определяют:

• видимый участок волнообразной кривой
• справа — участок очерковой линии
• слева — участок очерковой линии
• совпадающие проекции (горизонтальная прямая) окружностей основания тора .

1. Внутренний контур определяют: невидимый участок кривой

• невидимый участок образующей окружности

7-е действие. Оформить чертеж тора, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимые линии внутреннею контура каждой проекции (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Задача №13.

По заданным фронтальной и горизонтальной проекциям комбинированного тела с отверстиями и срезами плоскостями частного положения построить его профильную проекцию. Нсли требуется по условию задачи -достроить з&танные проекции.

Графические условия вариантов задачи 13 даны в табл 4.8.

Решение задач со сложными геометрическими формами, наружную и внутреннюю поверхность которых образуют комбинации нескольких простых геометрических тел со срезами, вырезами и отверстиями, учит читать чертежи пространственных форм любой сложности и оперировать этими формами в воображении, развивает пространственное мышление и является основой для изучения последующих разделов инженерной графики — проекционного и маши ноет роительного черчения.

Для успешного решения задач с комбинированными телами следует научиться выполнять последовательный графический анализ заданного условия, основанный на знании проаых геометрических тел, коюрый позволит не только решит ь задачу, но и созда ть в воображении и рост ране i венный образ комбинированною т ела

Последовательный графический анализ условия задачи определяет логический порядок графических действий для решения задачи, т.е. графический алгоритм.

На рис. 4.88, а, 6, в показан пример поэтапного решения задачи, форма которой задана комбинированным телом, по предлагаемому графическому алгоритму:

1-е действие. Построить на чертеже по заданным размерам фронтальную и горизонтальную проекции комбинированного тела и определить положение базовой оси (б.о.) на горизонтальной проекции и положение базовой оси для построения его профильной проекции.

2-е действие. Выполнить графический анализ заданных проекций комбинированного тела:

1. Определить по характерным признакам на заданных проекциях геометрические тела, образующие форму комбинированного тела (см. рис. 4.88, а):

прямой круговой горизонтально-проецирующий цилиндр определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции и окружности на горизонтальной проекции;

• в цилиндре выполнено соосное горизонтально-проецирующее отверстие определяется по тем же характерным признакам (образующие выполнены штриховыми линиями);

прямая правильная горизонтально-проецирующая шестиугольная призма определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции и шестиугольнику, вписанному в окружность, на горизонтальной проекции.

1. Определить формы линий пересечения, по которым плоскости срезов и вырезов пересекают поверхности формообразующих геометрических тел, и обозначить характерные точки, принадлежащие этим линиям (см. рис. 4.88, а):

• поверхности цилиндра и цилиндрического отверстия срезаны двумя симметричными профильными плоскостями пересекающими эти поверхности по образующим 1-2 и (точки внутреннего контура отмечены знаком «<>»);

поверхности цилиндра и отверстия срезаны симметричными и горизонтальными плоскостями , пересекающими эти поверхности по участкам окружностей 2-3-2 и

в цилиндре выполнено призматическое сквозное отверстие двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями , пересекающими поверхность цилиндра по участкам эллипсов , отверстие — по участкам эллипсов ;

• в шестиугольной призме выполнено полуцилиндрическое фронтально-проецирующее сквозное отверстие , пересекающее грани призмы по участкам эллипсов 6-7 (грани и ) и по участкам окружностей 7-8 (грани ).

!!! Поскольку заданные проекции комбинированного тела симметричны, точки обозначены на одной какой-либо половине каждой проекции.

1. Построить горизонтальные проекции отмеченных точек: точки и лежат на окружности радиусом , (проекция боковой поверхности ):

точки и лежат на сторонах шестиугольника (проекция боковой поверхности призмы );

-точки и лежат на окружности радиусом (проекция боковой поверхности цилиндрического отверстия ).

3-е действие. Если по условию задачи в формообразовании комбинированного тела участвуют геометрические тела с непроецирующей боковой поверхностью (пирамида, конус, шар, тор или тороид), требуется в соответствии с выполненным графическим анализом по проекциям обозначенных точек достроить на заданных проекциях (одной или обеих) линии пересечения поверхностей этих геометрических тел с плоскостями заданных срезов и вырезов (рис, 4 89, образец) и оформить очерки достроенных проекций.

В рассматриваемом примере формообразующими геометрическими телами являются горизонтально-проецирующие цилиндры и призма и, следовательно, 3-е действие выполнять не нужно.

4-е действие. Построить тонкими линиями (без заданных срезов и вырезов) профильные проекции формообразующих геометрических тел и внутренних элементов (рис. 4.88, а).

1. Профильную проекцию определяют:

• проекция цилиндра — прямоугольник, ограниченный двумя очерковыми образующими с координатами , равными ею радиусу , а по высоте — горизонтальными отрезками проекций верхнею и нижнею оснований,

проекция призмы прямоугольник, ограниченный двумя вырожденными в линии боковыми гранями с координатами , а по высоте горизонтальными отрезками проекций оснований (ребра и совпадают с осью симметрии проекции и базовой осью ).

1. Внутренний контур профильной проекции, предварительно выполненный тонкими штриховыми линиями, определяют:

проекция цилиндрического отверстия — прямоугольник, ограниченный двумя очерковыми образующими с координатами , равными его радиусу , с условной высотой ;

• горизонтальные отрезки: проекция горизонтальной плоскости среза ; линия пересечения фронтально-проецирующих плоскостей выреза :

профильно-проецирующая невидимая очерковая образующая фронтально-проецирующего отверстия ; образующая отверстия совпадает с проекцией верхнего основания призмы .

5-е действие. Достроить профильную проекцию комбинированного тела, построив на его наружной и внутренней поверхностях линии пересечения с заданными плоскостями срезов и выреза:

1. Достроить линии пересечения на наружных поверхностях формообразующих геометрических тел — цилиндра и призмы — но профильным проекциям обозначенных точек (см. рис. 4.88, б):

• построить видимые проекции образующих и по координатам и и горизонтальную видимую линию , в которую проецируются участки окружности в плоскостях срезов
• построить видимые участки эллипсов по проекциям точек: точки на очерковых образующих цилиндра , точки и — по координатам и

построить видимые участки эллипсов 6-7 па гранях призмы по проекциям точек: точки по координатам ; точки по принадлежности совпадающим проекциям ребер и ;

• проекции участков окружностей совпадают с проекциями граней .

1. Достроить линии пересечения на внутренней поверхности комбинированного тела по профильным проекциям обозначенных точек (рис. 4.88, в):

• построить невидимые участки эллипсов по проекциям точек: точки по принадлежности очерковым образующим отверстия и точки — на образующих, совпадающих с осью этого отверстия.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной проекции ятя определения ее очерка и внутреннего контура

1. Профильный очерк определяют:

• слева и справа — отрезки — участки очерковых образующих цилиндра ; отрезки , совпадающие с вырожденными боковыми гранями призмы; участки эллипсов и :

сверху — горизонтальные отрезки до точек — участки верхнего основания цилиндра ;

снизу горизонтальная линия нижнего основания призмы.

1. Внутренний видимый контур определяют:

-видимая горизонтальная линия — участок верхнего основания призмы;

• видимая вертикальная линия — ребра призмы, совпадающие с осью симметрии проекции;
• видимые образующие и .

Внутренний невидимый контур проекции определяют

• слева и справа — невидимые отрезки — существующие участки очерковых образующих отверстия ;
• горизонтальные отрезки — существующие участки невидимой линии пересечения двух плоскостей выреза ;

• невидимый участок эллипса ;
• горизонтальная невидимая линия — очерковая образующая отверстия .

7-е действие. Оформить чертеж комбинированного тела, выполнив толстыми линиями очерки и внутренний контур каждой проекции и штриховыми линиями невидимые контуры проекций (оставить тонкими линиями полные очер-ки геометрических тел и линии построения).

Образец выполнения листа 7 с задачей 13 показан на рис. 4.89.

Задача №13.

По заданным фронтальной и горизонтальной проекциям комбинированного тела построить его профильную проекцию, достроив, если требуется по условию, заданные проекции.

1 рафические условия вариантов задачи 13 даны в табл. 4.8.

Задачу выполнить на формате A3 чертежной бумаги.

План графических действий для решения задачи 13 соответствует предложенному алгоритму.

1-е действие. Построить на чертеже по заданным размерам фронтальную и горизонтальную проекции комбинированного тела и определить положение базовой оси (б.о.) на его горизонтальной проекции и базовой оси z для построения профильной проекции.

2-е действие. Выполнить графический анализ заданных проекций комбинированного тела.

/. Определить по характерным признакам на заданных проекциях геометрические тела, образующие форму комбинированного тела:

полушар в основании определяется по полуокружности на фронтальной проекции и окружности на горизонтальной проекции;

прямая правильная четырехугольная горизонтально-проецирующая призма определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции и четырехугольнику, вписанному в окружность, на горизонтальной проекции;

цилиндрическое сквозное горизонтатьно-проецируюшее отверстие определяется по прямоугольнику на фронтальной проекции (образующие выполнены штриховыми линиями) и окружности на горизонтальной проекции;

1. Определить формы линий пересечения, по которым плоскости вырезов пересекаюг поверхности формообразующих геометрических тел, и обозначить характерные точки, принадлежащие этим линиям:

• поверхность призмы пересекает сквозной призматический наз, образованный двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями и горизонтальной плоскостью, по отрезкам 1-2 и 2-3 ломаной, а цилиндрическое отверстие — по участкам эллипса и участкам окружности :
• поверхность шара пересекают две симметричные профильные плоскости по участкам окружностей 6-7 радиусом , а горизонтальная плоскость — по участкам окружности 7-8-7 радиусом плоскости образуют в основании шара сквозной прямоугольный паз

!!! Поскольку заданные проекции комбинированного тела симметричны, точки обозначены на одной половине проекции.

1. Построить горизонтальные проекции обозначенных точек

• точки и лежат на четырехугольнике боковой поверхности призмы;
• точки и лежат на окружности боковой поверхности цилиндрического отверстия.

3-е действие. Поскольку в формообразовании комбинированного тела участвует полушар, не имеющий боковой проецирующей поверхности, заданные фронтальную и горизонтальную проекции нужно досгроть и оформиib очерки этих проекций.

1. Достроить на фронтальной проекции линии пересечения боковых граней призмы с поверхностью шара;

• Грани призмы пересекают поверхность шара но участкам окружностей , горизонтальные проекции которых совпадают со сторонами четырехугольника (проекцией боковой поверхности призмы), а на фронтальную и профильную проецируются в виде участков эллипсов;

построить видимые фронтальные проекции участков эллипсов построив фронтальные проекции этих точек;

внутренний контур фронтальной проекции определяют два участка эллипсов (главный фронтальный меридиан шара не существует между точками и выполнен тонкой линией).

1. Достроить на горизонтальной проекции линии пересечения 6-7-8 плоскостей паза с поверхностью шара:

• горизонтальная плоскость паза пересекает поверхность шара по окружности радиусом а, на которой определяются точки и видимых участков этой окружности;
• боковые профильные плоскости паза пересекают поверхность шара по участкам окружностей радиусом которые проецируются в видимые участки вертикальных прямых и невидимые отрезки (выполнены штриховыми линиями);
• горизонтальный очерк определяют видимые участки линий (экватор шара не существует между точками и выполнен тонкими линиями).

4-е действие. Построить тонкими линиями (без срезов и вырезов) профильные проекции формообразующих геометрических тел и внутренних элементов.

1. Профильную проекцию определяют

• проекция шара — полуокружность заданным радиусом шара;
• проекция призмы — прямоугольник, ограниченный боковыми ребрами и линией верхнего основания.

Внутренний контур профильной проекции определяют: очерковые невидимые линии цилиндрического отверстия: горизонтальные отрезки: невидимая линия и видимые участки (проекция горизонтальной плоскости выреза в призме); невидимая линия (проекция горизонтальной плоскости паза).

5-е действие. Достроить профильную проекцию комбинированного тела, построив на его наружной и внутренней поверхностях линии пересечения с заданными плоскостями вырезов:

У. Достроить линии пересечения на наружной поверхности полушара и призмы по профильным проекциям обозначенных точек:

• построить видимые участки ломаных на поверхности призмы,
• построить видимые участки эллипсов — линии пересечения полушара и призмы;
• построить видимые участки линии на поверхности полушара.

1. Досгрошь линии пересечения на внуфенней поверхности комбинированного тела но профильным проекциям обозначенных точек:

построить невидимый участок эллипса : по принадлежности точек характерным образующим цилиндрическою отверстия, а точки — по координате .

построить невидимые отрезки проекции горизонтальной плоскости выреза в призме.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции для определения ее очерка и внутреннего контура.

1. Профильный очерк определяют:

• слева и справа — участки очерковых ребер призмы; ломаные линии выреза в призме; участки профильного меридиана шара; линии призматического паза в шаре,
• сверху — отрезок верхнего основания призмы;
• снизу — отрезок основания (экватора) шара

1. Внутренний видимый контур проекции определяют:

• участок ребра, совпадающий с осью симметрии профильной проекции;
• участки эллипсов ‘.

1. Внутренний невидимый контур проекции определяют:

• слева и справа — невидимые отрезки очерковых образующих цилиндрического отверстия от точек до горизонтальной невидимой линии (паз в шаре);
• невидимый участок эллипса ;
• невидимые горизонтальные отрезки .

7-е действие. Оформить чертеж комбинированного тела, выполнив толстыми линиями видимые очерки и внутренние контуры каждой проекции и штриховыми линиями невидимые контуры проекций (оставить тонкими линиями полные очерки геометрических тел и линии построений).

Графическая работа № 8

Сечение поверхности плоскостью общею положения

Для решения задачи 14 следует повторить изложенные выше темы начертательной геометрии.

Плоскость:

• плоскости общею и частного положения (плоскости проецирующие и плоскости уровня);

прямые особою положения в плоскости: фронтапь и горизонталь плоскости;

Поверхности — геометрические тела: проекции геометрических тел (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, ша-ра, тора и тороида);

• построение проекций точек на поверхности геометрических тел; сечение геометрических тел плоскостями частного положения.

Преобразование чертежа: способ замены плоскостей проекций (задачи 1,2, 3 и 4).

Тема 8. Сечение поверхности плоскостью общего положения

Задача №14.

Построить натуральную величину сечения геометрического тела плоскостью общего положения способом замены плоскостей проекций и достроить горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения геометрическою тела с плоскостью с учетом видимости этой линии на проекциях геометрического тела. Преобразование плоскости выполнять относительно горизон тали плоскости.

Графические условия вариантов задачи 14 даны в табл. 4.9.

Поверхности геометрических тел могут пересекаться плоскостями, занимающими относительно плоскостей проекций частные (проецирующие или уровня ) или общие положения:

Первый случай, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями частного положения, был подробно рассмотрен в темах 4, 5 и 6: «Поверх-ности. Поверхности гранные. Поверхности вращения». Построение проекций линии пересечения выполнялось в этих частных случаях по принадлежности точек их линий поверхностям геометрических тел по определенным графичс-ским алгоритмам, приведенным в рассмотренных темах.

На рис 4.90 показан еще один пример построения горизонтальной проекции линии пересечения поверхности тороида (самопересекающийся тор) фронтально-проецирующей плоскостью .

Графические действия для построения горизонтальной проекции линии пересечения в этом случае выполняется в следующем порядке:

1-е действие. Обозначить характерные 1, 4 и 6 и промежуточные 2, 3 и 5 точки на заданной фронтальной проекции линии пересечения, совпадающей с вырожденной проекцией плоскости сечения .

2-е действие. Построить горизонтальные проекции обозначенных точек по их принадлежности параллелям тороида.

3-е действие. Соединить построенные горизонтальные проекции точек плав-ной кривой, имеющей форму овала (видимая кривая).

Во втором случае, когда сечения геометрических тел выполнены плоскостями общего положения, для более удобного решения задачи следует изменить заданное графическое условие таким образом, чтобы один из графических образов занял относительно плоскостей проекций частное положение, т.е. привести условие к первому частному случаю.

По условию задачи преобразовать в частное положение из двух заданных образов (геометрического тела и плоскости) возможно только плоскость общего положения.

Напоминаем, что для преобразования плоскости общего положения в плоскость проецирующую следует вы-полнить задачу 3 преобразования способом замены плоскостей проекций (см. рис. 4.51). Это возможно только в том случае, если прямая уровня заданной плоскости горизонталь или фронталь преобразуется в проецирующую прямую (задача 2, см. рис. 4.47 и 4.48): для преобразования в горизонтально-проецирующую плоскость используется фронталь, для преобразования во фронтально-проецирующую плоскость горизонталь.

Для определения натуральной плоскостью следует далее преобразовать построенную после 1-го преобразова-ния проецирующую плоскость в плоскость уровня, т.е. решить задачу 4 замены плоскостей проекций (см. рис 4.54).

На рис. 4.91 показано последовательное двойное преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня способом замены плоскостей проекций.

Графический алгоритм последовательного преобразования заданной плоскости общего положения в плоскость уровня выполняется двумя заменами плоскостей проекций в следующем порядке:

1-е действие. Задать на чертеже ось исходной системы плоскостей проекций (через точку ).

2-е действие. Провести в плоскости линию уровня. В данной задаче провести горизонталь .

I. Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общею положения в плоскость проецирующую (задача 3):

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

4-е действие. Построить в первой дополнительной системе фронтальную проекцию плоскости по координатам взятым из заданной исходной системы плоскость спроецировалась в линию, т.е. преобразовалась во фронтально-проецирующую плоскость (перпендикулярна ).

II. Вторая замена плоскостей проекций преобразовать плоскость проецирующую в плоскость уровня (задача 4):

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций параллельной вырожденной в линию проекции плоскости , построенной в результате первого преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию плоскости по координатам y(yj, взятым из предыдущей системы до предыдущей оси проекций : плоскость спроецировалась в треугольник , имеющий натуральную величину как плоскость уровня (параллельна ).

На рис. 4.92 показан пример построения натуральной величины сечения прямой правильной четырехугольной призмы плоскостью общею положения , заданной треугольником, и построение проекций линии пересечения поверхности призмы этой плоскостью на заданных проекциях призмы.

Задача решена двумя заменами плоскостей проекции, т.е. двумя последовательными преобразованиями по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Построить проекции геометрического тела и секущей плоскости и задать на чертеже систему плоскостей проекций гак, чтобы ось проекций совпала с фронтальной проекцией нижнего основания заданной призмы.

2-е действие. Провести в плоскости горизонталь по заданному графическому условию, горизонталью плоскости является ее сторона .

I. Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общего положения в проецирующую.

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций с осью , перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали (стороне ).

4-е действие. Построить тонкими линиями в первой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости и призмы (точки отмечены на верхнем основании призмы) по координатам , взятым из заданной системы ; в результате преобразования плоскость спроецировалась в прямую линию и заняла положение фронтально-проецирующей, а призма спроецировалась в прямоугольник высотой .

I. Обозначить на преобразованной проекции характерные точки и на ребрах призмы, по которым плоскость сечения пересекает ее поверхность (плоская ломаная линия пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости сечения).

!!! В результате выполнения первой замены плоскостей проекций графическое условие задачи преобразовано в частный случай сечения геометрического тела фронтально-проецирующей плоскостью.

И. Вторая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость сечения в плоскость уровня.

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций , параллельной вырожденной проекции плоскости сечения, полученной в результате первою преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию ломаной линии сечения по координатам , взятым из предыдущей дополнительной системы до оси проекций ; полученная в результате второго преобразования проекция плоскости сечения параллельна дополнительной плоскости проекций , те является плоскостью уровня и определяет натуральную величину сечения

III. Достроить на заданных проекциях призмы горизонтальную и фронтальную проекции ломаной линии пересечения секущей плоскости с поверхностью призмы и определить видимость этой линии на проекциях.

7-е действие. Построить по линиям обратной связи горизонтальную проекцию ломаной линии сечения на заданной горизонтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы (обратным проецированием) и определить ее видимость (линия совпадает с проекцией боковой поверхности призмы).

8-е действие. Построить по линиям обратной связи фронтальную проекцию ломаной линии сечения на заданной фронтальной проекции призмы по принадлежности обозначенных точек ребрам призмы, используя координаты из первой дополнительно системы ; определить видимость ломаной линии пересечения на поверхности призмы: невидимый участок — на невидимых гранях призмы; видимый участок на видимых гранях призмы.

Образец выполнения листа 8 с задачей 14 показан на рис. 4.93.

Задача №14.

Построить натуральную величину сечения наклонной четырехугольной пирамиды плоскостью общею положения , заданной двумя пересекающимися прямыми и , и построить проекции ломаной линии пересечения плоскости с поверхностью пирамиды на заданных проекциях.

Задачу выполнить на формате АЗ чертежной бумаги.

Графические условия вариантов задачи 14 даны в табл. 4.9.

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму:

1-е действие. Построить на чертеже по заданным координатам фронтальную и горизонтальную проекции наклонной пирамиды и плоскости сечения и задать на чертеже систему плоскостей проекций с осью проекций , совпадающей на фронтальной проекции пирамиды с ее основанием

2-е действие. Провести в плоскости горизонталь ) — использовать прямую заданной плоскости сечения.

I. Первая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость общего положения во фронтально-проецирующую плоскость.

3-е действие. Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали .

4-е действие. Построить в первой дополнительной системе фронтальные проекции плоскости и наклонной пирамиды по координатам (отмечены двумя черточками для точек и и тремя черточками для точки ), взятым в заданной системе . в результате преобразования секущая плоскость спроецировалась в прямую и заняла положение фронтально-проецирующей, а пирамида спроецировалась в треугольник.

Обозначить характерные точки и ломаной линии, по которой плоскость сечения пересекает ребра и основание пирамиды (проекции точек и совпадают).

II. Вторая замена плоскостей проекций — преобразовать плоскость сечения пирамиды в плоскость уровня.

5-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций с осью проекций , параллельной плоскости сечения, полученной в результате первою преобразования.

6-е действие. Построить во второй дополнительной системе горизонтальную проекцию сечения по координатам (отмечена знаком «~» для точки 3Д взятым из предыдущей дополнительной системы до оси проекций полученная в результате второго преобразования проекция плоскости сечения параллельна дополнительной плоскости проекций т.е. является плоскостью уровня и определяет натуральную величину сечения.

III. Достроить на заданных проекциях пирамиды горизонтальную и фронтальную проекции ломаной линии пересечения секущей плоскости с поверхностью пирамиды и определить видимость этой линии на проекциях.

7-е действие. Построить полициям обратной связи горизонтальную проекцию ломаной линии пересечения на заданной горизонтальной проекции пирамиды по принадлежности обозначенных точек ребрам и основанию пирамиды; определить видимость ломаной: участок — видимый (лежит на видимых гранях), участок — невидимый.

8-е действие. Построить по линиям связи фронтальную проекцию ломаной линии пересечения на заданной фронтальной проекции пирамиды по принадлежности обозначенных точек ребрам и основанию пирамиды; определить видимость ломаной: участок — видимый на видимых гранях, а участки и — невидимые, участок лежит на основании пирамиды.

Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечении

Линия пересечения принадлежит обеим пересекающимся поверхностям и образуется множеством их общих точек. Следовательно, построение линии пересечения поверхностей сводится к построению этих общих точек.

При пересечении поверхностен вращения порядок линии пересечения определяется умножением порядков пересекающихся поверхностей. Например, если пересекаются круговой конус (поверхность 2-го порядка) и сфера (поверхность 2-ю порядка), то линия пересечения является кривой 4-ю порядка.

Определение способа построения линии пересечения зависит от взаимною расположения пересекающихся поверхностей, а также от их расположения относительно плоскостей проекций.

Из всех возможных вариантов пересечения

поверхностей геометрических тел в зависимости от их взаимного рас-положения можно выделить четыре случая, которые позволяют определить и представить форму линии пересечения поверхностей:

I случай. Частичное врезание (рис. 4.94). В этом случае линией пересечения -одна замкнутая пространственная линия.

II случай. Полное проницание (рис. 4.95). В этом случае линией пересечения являются две замкнутые пространственные линии.

III случай. Одностороннее соприкосновение (рис. 4.96). В этом случае поверхности соприкасаются водной общей точке и линия их пересечения, про-ходя через эту точку, распадается на две замкнутые пространственные линии (поверхности имеют одну общую касательную плоскость).

IV случай. Двойное соприкосновение (рис. 4.97).

В этом случае поверхности имеют две точки соприкосновения и и линия их пересечения распадается на две плоские кривые в соответствии с теоремой 2 (С.А Фролов «Начертательная геометрия»): если две поверхности вращения второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую , соединяющую точки касания (поверхности имеют две общие касательные плоскости).

В зависимости от расположения пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций и участия в пересечении геометрических тел, имеющих проецирующую поверхность (как призма или цилиндр) или не имеющих проецирующей поверхности (пирамида, конус, шар, тор, тороид, наклонная призма или наклонный цилиндр, глобоид и др.), следует выбрать оптимальный способ построения проекций линии пересечения поверхностей на чертеже.

По этим признакам способы построения линий пересечения поверхностей можно объединить в две группы:

Первая группа: частные случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения не требуется применения специальных способов, а используется частное положение пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций.

Вторая группа: общие случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения требуется применить специальные способы посредников. Частные случаи пересечения поверхностей

К первой группе частных случаев пересечения поверхностен относятся следующие четыре случая:

1 случаи: пересечение геометрических тел, боковые поверхности которых являются проецирую щ ими, т.е. перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

2 случаи: пересечение геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность является проецирующей.

3 случаи: пересечение соосных поверхностей вращения, т.е. имеющих общую ось вращения

4 случаи: пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Рассмотрим на примерах построение проекций линий пересечения поверхностей геометрических тел в четырех частных случаях первой группы .

Следует отметить, что перечисленные частные случаи пересечения поверхностей наиболее часто встречаются при формообразовании различных реальных деталей.

1-й частный случай.

На рис. 4.98 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей горизонтально-проецирующего цилиндра и фронтально-проецирую-щей прямой правильной треугольной призмы, т.е. пересекаются два геометрических тела, боковые поверхности которых занимают относительно плоское гей проекций проецирующее положение.

Характерный признак 1-го частного случая: на заданных проекциях тел определяются две проекции нс-комой линии пересечения:

фронтальная проекция линии пересечения совпадает с вырожденной в ломаную линию боковой поверхностью призмы;

горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с участком окружности которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра

Следовательно, требуется достроить только профильную проекцию линии пересечения, построив профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности одному из тел (в данной задаче — цилиндру), и соединить их плавной кривой с учетом ее видимости на поверхностях.

2-й частный случай

На рис. 4.показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса и фронтально-проецирующего цилиндра, т.е. пересекающихся геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность проецирующая.

Характерный признак 2-го частного случая: на заданных проекциях тел определяется одна проекция линии пересечения:

фронтальная проекция линии пересечения совпадает с окружностью, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить горизонтальную и профильную проекции линии пересечения, построив горизонтальные и профильные проекции обозначенных то-чек по их принадлежности конусу, и соединить построенные на проекциях точки плавными кривыми линиями с учетом их видимости на поверхностях.

!!! На профильную проекцию предмета пространственная кривая линия пересечения 4-го порядка проецируется в виде участка гиперболы.

3-й частный случай.

Пересечение соосных геометрических тел.

Соосными называются геометрические тела вращения, имеющие общую ось вращения . Поверхности соосных тел пересекаются по окружностям, перпендикулярным их общей оси. Если общая ось соосных геометрических тел является прямой проецирующей (т.е. она перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а двум другим параллельна), то окружность пересечения проецируется дважды в прямую линию, перпендикулярную их общей оси, на те плоскости проекций, которым эта общая ось параллельна.

На рис. 4.100 показан пример построения линии пересечения соосных геометрических тел — конуса и горизонтально-проецирующего цилиндра, имеющих общую горизонтально-проецирующую ось (ось перпендикулярна и параллельна и ). Линией пересечения является окружность, фронтальная и профильная проекции которой представляют собой прямые линии, перпендикулярные их общей оси и проходящие через точки пересечения фронтальных и профильных очерков поверхностей Горизонтальная проекция этой

окружности пересечения ) совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра.

На рис. 4.101 показан пример построения линий пересечения двух пар соосных поверхностей:

• поверхности шара и горизонтально-проецирующего цилиндра, соосных относительно горизонтально-проецирующей оси , окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и профильную проекции;

поверхности шара и сквозного профильно-проецирующего цилиндрического отверстия в шаре, соосных относительно профильно-проецирующей оси , окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и горизонтальную проекции.

4-и частный случай.

Пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Напоминаем, к поверхностям вращения второго порядка относятся круговые цилиндр и конус, шар, эллипсоиды, параболоид, одно-и двуполостные гиперболоиды.

Эллиптические цилиндры и конусы, а также наклонный круговой конус — это не поверхности вращения!

Все горы (открытый, закрытый и самопересекающийся), глобоиды и торо-иды относятся к поверхностям вращения четвертого порядка!

В 4-м частном случае имеет место двойное соприкосновение пересекающихся поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы, и построение линии пересечения основано на теореме 2 (С.Д. Фролов «Начертательная геометрия»):

Теорема 3 , известная как теорема Г. Монжа, вытекает из теоремы 2: если две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания

Практическое применение теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг сферы или вписаны в нее.

Использовать теорему Г. Монжа для построения на чертеже линии пересечения поверхностей можно при наличии в задаче четырех обязательных графических условий:

1. Пересекаются поверхности вращения второго порядка.
2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точка пересечения центр вписанной сферы).
3. Поверхности описаны вокруг общей сферы или вписаны в нее.
4. Общая плоскость симметрии, проходящая через оси поверхностей, является плоскостью уровня.

При соблюдении этих четырех условий на одной из заданных проекций можно построить проекции двух плоских кривых, на которые распадается ис-комая линия пересечения:

плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий на ту проекцию предмета, которая расположена па плоскости проекций, параллельной обшей плоскости симметрии поверхностей;

-точки пересечения очерков поверхностей на этой проекции принадлежат искомой линии пересечения и через эти точки проходят прямые, в которые проецируются плоские кривые пресечения;

прямые, как проекции плоских кривых, пересекаются в точке, с которой совпадают проекции двух точек соприкосновения поверхностей и соответственно проекция прямой соединяющей эти точки соприкосновения (точки касания).

!!! Точки касания (соприкосновения) поверхностей и определяются на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей.

На рис. 4.102 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей вращения второго порядка — прямого кругового конуса и наклонного круговою цилиндра, описанных вокруг обшей сферы. Для решения задачи использована теорема Г. Монжа, поскольку здесь соблюдены все четыре обязательные условия ее применения:

1. Пересекаются прямой круговой конус и круговой наклонный цилиндр, т.е. поверхности вращения второго порядка.
2. Оси конуса и цилиндра пересекаются в точке .

1. Обе поверхности описаны вокруг обшей для них сферы с центром в точке .
2. Общая плоскость симметрии поверхностен является фронтальной плоскостью уровня .

Построение проекций линии пересечения поверхностей по теореме Г. Монжа выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Определить проекцию предмета, на которую плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий: в данной задаче это фронтальная проекция, так как общая плоскость симметрии параллельна фронтальной плоскости проекций .

2-е действие. Построить фронтальные совпадающие проекции точек соприкосновения заданных поверхностей, лежащих на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей (прямые линии -проекций этих окружностей касания — строятся как линии пересечения соосных поверхностей, так как вписанная сфера образует две пары соосных поверхностей -конус/сфера с обшей осью и цилиндр/сфера с общей осью . Па чертеже проекции этих окружное!ей касания проходят через точки, полученные на пересечении перпендикуляров, проведенных из точки — центра вписанной сферы — к образующим конуса (окружность касания 1) и цилиндра (окружность касания 2).

3-е действие. Отметить на фронтальной проекции точки и пересечения очерков поверхностей и построить фронтальные проекции плоских кривых пересечения 2-го порядка, соединив прямыми линиями и противоположные точки пересечения очерков (обе прямые обязательно должны пройти через построенные проекции точек соприкосновения поверхностен ;

4-е действие Построить горизонтальные проекции двух плоских кривых пересечения — эллипсов, по горизонтальным проекциях обозначенных точек и построенных по принадлежности поверхности конуса; обозначить и построить точки и , которые лежат на очерковых образующих горизонтальной проекции цилиндра и определяют границу видимости кривых на горизонтальной проекции предмета, а также отметить и построить необходимое количество промежуточных точек (здесь не обозначены).

5-е действие. Оформить фронтальный и горизонтальный очерки пресекающихся поверхностей.

!!! Построение точек соприкосновения поверхностей особенно важно в задачах, где по условию нельзя определить одну из четырех точек пересечения очерков поверхностей. Совпадающие проекции точек соприкосновения в этом случае определят направление одной из двух прямых линий — проекций плоских кривых пересечения.

Общие случаи пересечения поверхностей и способы построения линий пересечения поверхностей

Ко второй рассматриваемой группе относятся общие случаи пересечения геометрических тел, боковые поверхности которых могут занимать относительно плоскостей проекций непроецирующее положение (это наклонные призмы и цилиндры), а также геометрические тела, поверхности которых непроецирующие — это конус, сфера, торы, глобоид, эллипсоид, параболоид и гиперболоиды. Сюда же относятся наклонный эллиптический цилиндр, имеющий круговые сечения, и наклонный круговой конус.

Для построения линий пересечения поверхностей в этом случае применяются специальные способы вспомогательных посредников — плоскостей уровня или поверхностей (сфер, цилиндров, конусов), из которых мы рассматриваем следующие:

1. способ вспомогательных секущих плоскостей уровня;
2. способ вспомогательных концентрических сфер;
3. способ вспомогательных эксцентрических сфер.

11рименение одного из указанных способов для построения линий пересечения поверхностей геометрических тел возможно при наличии некоторых обя-затсльных графических условий расположения геометрических тел относительно плоскостей проекций и зависит от того, какие именно геометрические тела пересекаются в конкретной задаче.

Линия пересечения поверхностей является общей для обеих поверхностей и образуется множеством общих точек, которые строятся с помощью вспомогательных посредников.

Предварительно требуется выполнить графический анализ условия задачи для выбора рационального способа ее решения, определить проекцию предмета, на которой следует начинать решение задачи, и фаницы введения посредников.

Для построения проекций точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей. способом посредников следует применять общий для всех рассматриваемых способов графический алгоритм.

Графический алгоритм I:

1-е действие. Ввести вспомогательную плоскость- или поверхность-посредник.

2-е (к’жтвие. Построить вспомогательные линии пересечения плоскости- или поверхности-посредника с каждой из заданных поверхностей.

3-е действие. Определить точки пересечения построенных вспомогательных линий пересечения — эти точки принадлежат искомой линии пересечения.

Рассмотрим на примерах применение различных способов вспомогательных посредников для построения проекций линий пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей уровня

Применение способа вспомогательных секущих плоскостей рационально при н&тичии двух графических условий:

1. Общая плоскость симметрии пересекающихся геометрических тел является плоскостью уровня; при соблюдении этого условия точки пересечения очерков поверхностей принадлежат искомой линии пересечения и определяют верхнюю и нижнюю границу введения плоскостей-посредников на соответствующей проекции предмета.
2. Сечениями геометрических тел в одной из плоскостей уровня должны быть простые в построении линии пересечения — прямые линии (образующие) или окружности; эту плоскость уровня и следует выбрать в качестве посредника.

На рис. 4.103 показан пример построения проекций линии пересечения прямого конуса и половины тара.

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета.

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных секущих плоскостей, так как здесь соблюдены два графических условия его применения:

• общая плоскость симметрии геометрических тел — конуса и полушара — является фронтальной плоскостью уровня (первое условие применения);
• горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают поверхности конуса и полушара но окружностям, выбираем в качестве вспомогательных плоскостей-посредников (второе условие применения).

Решение задачи, т.е. введение плоскостей-посредников, начинаем

на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии геометрических тел является фронтальной плоскостью уровня.

Определяем границы введения плоскостей-посредников — это точка пересечения фронтальных очерков и точки пересечения окружностей оснований конуса и полушара, лежащие в горизонтальной плоскости уровня

Построить проекции точек искомой линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма 1:

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции предмета первую вспомогательную секущую горизонтальную плоскость-посредник произвольно и ниже точки .

2-е действие. Построить на горизонтальной проекции предмета вспомогательные окружности радиусами и но которым секущая плоскость-посредник пересекает поверхности конуса и шара.

3-е действие. Определить на пересечении построенных вспомогательных окружностей горизонтальные проекции точек , принадлежащих линии пересечения; фронтальные совпадающие проекции этих точек определяются полиции связи на фронтальной проекции плоскости-посредника .

Повторить действия основного графического алгоритма, введя вторую плоскость-посредник , и построить проекции точек и т. д.

Дополнительные действия:

4-е действие Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях: на фронтальную проекцию предмета пространственная кривая пересечения проецируется в видимую плоскую кривую второго порядка (участок параболы), поскольку горизонтальная проекция предмета имеет фронтальную симметрию: на горизонтальную проекцию предмета — в участок видимой кривой 4-го порядка сложной формы.

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости:

• на фронтальной проекции — очерк конуса существует влево от точки . а очерк шара — вправо от точки (несуществующие очерки конуса и шара оставить тонкими линиями),
• на горизонтальной проекции — окружность основания конуса существует влево от точек а окружность основания шара существует вправо от точек (несуществующие части окружностей оснований конуса и шара оставить тонкими линиями).

!!! Способ вспомогательных секущих плоскостей позволяет строить одновременно две проекции искомой линии пересечения.

Основанием для применения сферы в качестве вспомогательной поверхности-посредника являются две ее характерные особенности:

• в сфере можно провести через ее центр бесконечное количество осей;

сфера может быть соосна любой поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора); соосные поверхности пересекаются по окружностям, проекции которых легко построить (см. рис. 4.100 и 4.101).

Сфера-посредник образует две пары соосных поверхностей с каждой из заданных поверхностей. Каждая образованная пара соосных поверхностей пересекается по соответствующим окружностям, которые проецируются в прямые, перпендикулярные общей оси каждой пары, и проходят через точки пересечения очерков каждой пары соосных поверхностей.

Применение способа вспомогательных концентрических сфер для построе-ния линии пересечения поверхностей возможно при наличии трёх следующих графических условий:

1. Пересекаются поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора).
2. Общая плоскость симметрии пересекающихся поверхностей является плоскостью уровня; при этом условии точки пересечения очерков на проекции предмета, изображенного на параллельной общей плоскости симметрии плоскости проекций, принадлежат искомой линии пересечения.
3. Оси поверхностей пересекаются; точка пересечения осей является центром всех вспомогательных сфер.

Па рис. 4.104 показан пример построения проекций линии пересечения усеченного конуса и тороида (самопсрссскающийся тор).

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей здесь применять не следует, так как ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности одновременно по окружностям (одно из условия применения).

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета.

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных концентрических сфер, так как здесь соблюдены три графических условия его применения:

• пересекаются поверхности вращения — прямой круговой конус и тороид (самопересекающийся тор);

-общая плоскость симметрии геометрических тел является фронтальной плоскостью уровня;

• оси поверхностей пересекаются в точке — центр всех вспомогательных сфер.

Решение задачи, т.е. введение вспомогательных сфер-посредников, начинаем на фронтальной проекции предмета, гак как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки и пересечения фронтальных очерков принадлежа! линии пересечения.

Определяем границы введения сфер — это точки и пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел.

Построить проекции точек линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма I.

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции вспомогательную сферу-посредник минимального радиуса , с центром в точке , вписанную в тороид (минимальная сфера-посредник должна в одну из поверхностей вписываться, а с другой поверхностью — пересекаться).

2-е действие. Построить проекции вспомогательных окружностей пересечения двух пар соосных поверхностей, образованных сферой-посредником с каждой заданной поверхностью

• первая пара соосных поверхностей — сфера-посредник и тороид имеют горизонтальную общую ось и пересекаются по окружности касания которая проецируется в прямую линию (совпадает с осью конуса);
• вторая пара соосных поверхностей — сфера-посредник и конус имеют вертикальную общую ось вращения и пересекается по двум вспомогательным окружностям которые проецируются в прямые линии.

3-е действие. Определить точки пересечения построенных проекций вспомогательных окружностей и которые принадлежат искомым линиям пересечения (по две пары совпадающих точек).

!!! Здесь имеет место случай полною проницания (Н-й случай) и линия пересечения распадается на две замкнутые кривые.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вспомогательные сферы большего радиуса и с тем же центром в точке , и построить следующие пары точек и .

Достроить горизонтальные проекции построенных точек линии пересечения по принадлежности параллелям конуса.

1. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости па проекциях (только линия пересечения будет невидимой на горизонтальной проекции предмета)

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости способ вспомогательных эксцентрических сфер

Наименование способа говорит о том, что вспомогательные сферы имеют разные центры, которые и нужно определять в процессе построения проекций линии пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно применять при наличии трех следующих графических условий:

Пересекаются:

• поверхности вращения 4-го порядка, т.е. торовые поверхности — открытый или закрытый тор;
• поверхности эллиптических цилиндра и конуса, имеющие круговые сечения.

1. Общая плоскость симметрии поверхностей является плоскостью уровня.
2. Оси поверхностей пересекаются или скрещиваются.

Поскольку в этом способе центр каждой вспомогательной сферы нужно определять графическими построениями, первое действие графического алго-ритма для построения проекций точек линии пересечения дополняется пост-роением центра каждой вспомогательной сферы.

Порядок графических действий для построения линий пересечения спосо-бом вспомогательных эксцентрических сфер показан на двух примерах.

На рис. 4.105 показан пример построения проекции линии пересечения профильно-проецирующего цилиндра с поверхностью четвертой части открытого тора Задача решается способом вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три необходимых условия для применения этого способа:

• одна из пересекающихся поверхностей открытый тор, имеющий круговые сечения во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через его ось вращения
• общая плоскость симметрии поверхностей — фронтальная плоскость уровня (подразумевается), поэтому точка пересечения фронтальных очерков принадлежит искомой линии пересечения; оси поверхностей и скрещиваются.

Построение проекций точек линии пересечения поверхностей выполняется на заданной фронтальной проекции предмета по предлагаемому графическому алгоритму II.

Графический алгоритм II:

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительно следующие графические действия:

1. Задать произвольное круговое сечение поверхности тора фронтально-проецирующей плоскостью проходящей через его ось окружность , (ее проекция — прямая линия ) это заданная ЛИНИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТОРА С ИСКОМОЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ СФЕРОЙ, центр которой должен лежать на перпендикуляре к проекции этой окружности прямой (хорда окружности, в которую проецируется вспомогательная сфера).
2. Провести к прямой через се середину перпендикуляр и на его пересечении с осью цилиндра определить центр первой вспомогательной сферы -точку .
3. Провести окружность — проекцию вспомогательной сферы-посредника — с центром в точке , радиус которой определяется расстоянием от точки до одной из крайних точек или прямой .

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения построенной сферы-посредника с поверхностью соосного ей цилиндра — это прямая , проходящая через точки и пересечения очерков цилиндра и сферы-посредника.

3-е действие. Определить на пересечении построенных проекций заданной окружности и построенной окружности совпадающие точки , принадлежащие искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма и построить достаточное количество точек линии пересечения. В данном примере дополнительными сечениями вспомогательных плоскостей и и вспомогательными сферами и с центрами и построены точки 2 и 3, принадлежащие линии пересечения. Причем в плоскости окружности сечений совпадают и совпадающие точки 3 делят существование этих окружностей на две половины — верхняя часть принадлежит цилиндру, а нижняя — тору.

5-е действие. На фронтальной проекции соединить плавной видимой кривой точки линии пересечения

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

Па рис. 4.106 показан пример построения линии пересечения наклонного кругового цилиндра с осью и наклонного эллиптического цилиндра с осью , у которого есть круговые сечения в горизонтальных плоскостях уровня.

Выполнить графический анализ условия и исключить нерациональный способ решения задачи.

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей применять не следует, так как на заданной фронтальной проекции ни одна плоскость уровня не

пересекает поверхности одновременно по окружностям или образующим (одно из условий применения).

Рассмотренный способ вспомогательных концентрических сфер применять нельзя, так как проведенные сферы с центром в точке пересечения осей образуют соосные нары только с одной заданной поверхностью (одно из условий применения).

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три условия его применения:

пересекаются наклонный круговой цилиндр и эллиптический цилиндр (поверхность не вращения);

• общая плоскость симметрии поверхностей является фронтальной плоскостью уровня (подразумевается);
• оси поверхностей и пересекаются

Решение задачи, т.е введение сечений цилиндра (параллельных заданному) горизонтальными плоскостями уровня а начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки и пересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения.

Определяем границы введения сечений цилиндра — это точки и пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел.

Построить проекции точек линии пересечения поверхностей, выполнив действия предложенного графического алгоритма II.

Графический алгоритм II:

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительные графические действия.

Задать произвольное круговое сечение эллиптического цилиндра горизонтальной плоскостью — прямую . Эта заданная линия — окружность пересечения эллиптического цилиндра с искомой вспомогательной сферой, центр которой лежит на перпендикуляре, проведенном из середины этой прямой

1. Провести к прямой через се середину перпендикуляр и на пересечении с осью кругового цилиндра определить точку — центр первой вспомогательной сферы-посредника.

1. Провести окружность сферы-посредника радиусом который определяется расстоянием от точки до одной из точек или прямой

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения сферы-посредника с соосной ей поверхностью кругового цилиндра — это прямая , проходящая через точки пересечения очерков сферы и цилиндра

3-е действие. Определить на пересечении заданной окружности и построенной окружности совпадающие точки принадлежащие искомой линии пересечения

.Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма II и построить проекции точек .

5-е действие. На фронтальной проекции соединить плавной видимой кривой точки линии пересечения.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

Образец выполнения листа 9 с задачами 15 и 16 показан па рис. 4.107, а и б.

Задачи выполнять на формате A3 белой чертежной бумаги. Графические условия вариантов задачи 15 и 16 даны соответственно в табл. 4.10 и 4.11.

Задача №15.

Построить проекции линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей на заданных проекциях. Задачу выполнить на левой половине поля чертежа.

В задаче 15 комбинированное тело образовано пересечением прямого кругового конуса и торой да.

Выбираем для решения задачи первый рассмотренный способ вспомогательных секущих плоское гей, гак как здесь соблюдены два условия ei о применения:

• общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня;
• горизонтальные плоскости уровня , которые пересекают поверхность конуса и тороида но окружностям, выбираем в качестве вспомогательных плоскостей-посредников.

Решение задачи, т.е. введение плоскостей-посредников, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня.

Определяем границы введения вспомогательных плоскостей-посредников — это точка пересечения фронтальных очерков и точки пересечения окружностей в горизонтальной плоскости уровня , проходящей через основание тороида.

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму I (см. рис. 4.103):

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции предмета первую горизонтальную плоскость-посредник (произвольно и ниже точки ).

2-е действие. Построить на горизонтальной проекции вспомогательные окружности радиусами , и пересечения первой вспомогательной плоскости-посредника с каждой заданной поверхностью.

3-е. действие. Определить на пересечении построенных вспомогательных окружностей две горизонтальные проекции точек (отмечены с одной стороны), принадлежащих искомой линии пересечения Фронтальные проекции точек строятся по линии связи на фронтальной проекции плоскости-посредника .

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма и построить проекции точек 2 и 3 линии пересечения.

5-е действие. На заданных проекциях соединить плавными кривыми линиями построенные проекции точек линии пересечения с учетом их видимости на поверхностях геометрических гел.

6-е действие. Оформить на проекциях очерки поверхностей (оставить тонкими сплошными линиями несуществующие очерки поверхностей и линии построения).

Задача №16.

Построить проекции линии пересечения поверхностей способом вспомогательных концентрических или эксцентрических сфер на заданных проекциях. Задачу выполнить на правой половине поля чертежа.

В задаче 16 комбинированное тело образовано пересечением шара и кругового усеченного конуса с горизонтальной осью .

Выполнив графический анализ условия задачи, определяем, что рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей применять не следует, так как на заданных проекциях нельзя провести плоскости уровня, пересекающие по окружностям обе заданные поверхности.

Выбираем для решения задачи второй рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей, так как здесь соблюдены три условия его применения:

• пересекаются поверхности вращения;
• общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня;

-оси поверхностей пересекаются и центр вспомогательных сфер — точка — лежит на пересечении горизонтальной оси конуса и вертикальной оси шара .

Решение задачи, т.е. введение сфер-посредников, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является плоскостью уровня.

Определяем границы введения сфер-посредников — это точки и пересечения фронтальных очерков.

План графических действий для решения задачи соответствует предложенному графическому алгоритму I (см. рис. 4.104):

1-е действие. Ввести первую вспомогательную минимальную сферу радиусом с центром в точке , вписанную в коническую поверхность.

2-е действие. Построить проекции окружностей (прямые), по которым сфера-посредник пересекается с конусом и шаром:

• первая пара соосных поверхностей — конус и вписанная вспомогательная сфера пересекаются по окружности касания — окр. 1к касательная;
• вторая пара соосных поверхностей — заданная сфера и вспомогательная сфера пересекаются по окружности — окр. 1ш.

3-е действие. Определить на пересечении построенных вспомогательных проекций окружностей совпадающие точки , принадлежащие искомой линии пересечения

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вспомогательные концентрические сферы радиусами и с тем же центром . и построить точки и , принадлежащие линии пересечения.

При выборе радиусов ВТОРОЙ и ТРЕТЬЕЙ вспомогательных концентрических сфер нужно учесть графическое условие данной задачи:

• радиус второй вспомогательной сферы выбран так, чтобы были построены точки искомой линии пересечения, лежащие на характерных для горизонтальной проекции образующих конуса , фронтальные проекции которых совпадают с осью конуса , т.е. радиус второй сферы должен быть равен расстоянию от точки до точки которая лежит на пересечении оси конуса с очерком заданного шара (главного фронтального меридиана).
• радиус третьей вспомогательной сферы выбран гак, чтобы были построены точки искомой линии пересечения, лежащие на экваторе шара , фронтальная проекция которого совпадает с горизонтальной осью шара , т.е. радиус третьей сферы должен быть равен расстоянию от точки до точки , которая лежит на пересечении экватора шара с его фронтальным очерком.

Достроить горизонтальные проекции точек и линии пересечения:

• точки — по принадлежности параллели шара (окр. 1 ш);
• точки — но принадлежности очерковым образующим конуса ,
• точки — по принадлежности экватору шара .

1. Соединить плавными кривыми линиями фронтальные и горизонтальные проекции построенных точек линии пересечения с учетом их видимое!и на проекциях геометрических тел — невидимыми будут участки пространственной кривой 4-го порядка на горизонтальной проекции.

5-е действие: Оформи ть очерки поверхностей на заданных проекциях с уче-том их относительной видимое! и (оставить тонкими линиями несуществующие очерки геометрических тел и линии построения).

Развертки поверхностей. Общие сведения

Разверткой называется плоская фшура, в которую преобразуется поверхность предмета при ее совмещении с плоскостью. При этом подразумевается, что поверхность — это гибкая, но нерастяжимая и несжимаемая пленка и при ее разверт ке не происходит разрывов и образования складок.

Поверхности, которые допускают такое преобразование, называклся развертывают и м и с я .

К развертывающимся поверхностям относятся mhoioi ранники, некоторые линейчатые поверхности — цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата (торсы — развертка торсов не рассматривается).

Развертки можно построить точные и приближенные.

Точные развертки можно строить для гранных поверхностей призмы и пирамиды (не считая графических погрешностей построения), для круговых цилиндров (развертка — прямоугольник с размерами и круговых конусов (круговой сектор с углом , где — радиус основания конуса; — длина его образующей).

Развертки, которые можно построить графически, заменяя (аппроксимируя) заданные поверхности участками развертывающихся призматических, пирамидальных или цилиндрических поверхностей, называются приближенными. К поверхностям, развертку которых можно построить приближенно, относятся круговые наклонные конуса, эллиптические цилиндры с круговыми сечениями, сферические, торовыс, а также комбинированные поверхности, участки которых состоят из развертывающихся поверхностей.

Каждой точке на поверхности соответствует единственная точка на развертке, т.е. между поверхностью и ее разверткой существует взаимно однозначное соответствие, которое обладает следующими основными свойствами:

а) длины соответствующих линий на поверхности и на развертке равны;

б) линии, параллельные на поверхности, сохраняют параллельность на развертке,

в) углы между соответствующими пересекающимися линиями на поверхности и на развертке равны.

г) площади соответствующих фигур на поверхности и на развертке, ограниченные замкнутыми линиями, равны.

Развертки многогранников

Построение развертки многогранников сводится к определению натуральных величин боковых граней или ребер этих поверхностей Натуральные величины граней (плоскостей) или ребер (прямых) могут быть определены любым из рассмотренных выше способов преобразования чертежа (см тему «I Треобразование чертежа»).

Развертки поверхности призмы

Построение развертки поверхности призмы можно выполнить несколькими способами:

1 Способ нормального сечения.

2 раскатки.

3 Способ треугольников (триангуляции) — здесь не рассматривается

Рассмотрим на примерах построение развертки поверхности призмы первыми двумя способами

1-й способ.

Способ нормального сечения (нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы).

Этот способ развертки боковой поверхности призмы можно применить, если на чертеже:

• ребра призмы являются прямыми уровня, т.е. имеют на одной из заданных проекций натуральную величину,
• на проекциях нет натуральных величин оснований призмы.

!!! Если на чертеже ребра призмы являются прямыми общею положения, то следует изменить положение призмы относительно плоскостей проекций, преобразовав ребра в прямые уровня, например, способом замены плоскостей проекций.

Построение развертки боковой поверхности призмы способом нормального сечения выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. На проекции призмы, на которую ребра призмы проецируются в натуральную величину, провести плоскость НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ, перпендикулярную ее ребрам (в произвольном месте по длине ребер).

2-е действие. Построить натуральную величину многоугольника нормального сечения (например, способом замены плоскостей проекций).

3-е действие. Развернуть на свободном поле чертежа натуральный многоугольник сечения в прямую и через точки его вершин провести перпендикулярные прямые — направления ребер.

4-е действие. Отложить на направлениях ребер в обе стороны от линии нормального сечения натуральные отрезки соответствующих ребер.

5-е действие Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки боковой поверхности призмы.

6-е действие Оформить чертеж развертки, проведя тонкими штрих пунктирными линиями с двумя короткими пунктирами линии сгиба в местах расположения ребер

На рис. 4.108 показан пример построения развертки поверхности треугольной призмы способом нормального сечения, так как на чертеже призмы ее ребра являются горизонтальными прямыми уровня, а основания — плоскостями общего положения, т.е. не имеют натуральной величины.

Поверхность призмы «разрезана» по ребру и развернута по часовой стрелке.

Для построения развертки выполнены фактические действия предложенною алгоритма.

1-е действие. Провести горизонтально-проецирующую плоскость нормального сечения перпендикулярно горизонтальным проекциям ребер призмы (произвольно по длине ребер).

2-е действие. Способом замены плоскостей проекций построить натуральную величину нормального сечения треугольник , стороны которого определяют ширину каждой грани призмы.

3-е действие. На свободном поле чертежа треугольник нормального сечения развернуть в горизонтальную линию и отметить натуральные величины его сторон; из отмеченных на линии сечения точек 1, 2, 3 и 1 провести перпендикулярные прямые — направления ребер.

4-е действие. Отложить на проведенных направлениях ребер вверх и вниз отрезки натуральных величин ребер (см. ребро ), взятых с заданной горизонтальной проекции призмы, где ребра имеют натуральную величину

5-е действие Соединить отрезками прямых построенные конечные точки ребер и достроить плоскую фигуру развертки.

6-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив тонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими штрихами линии сгиба по ребрам призмы.

На рис. 4.108 показано также построение на развертке точки лежащей на грани призмы.

2-й способ. Способ раскатки.

Этот способ разверни применяется, если на чертеже:

• ребра призмы являются прямыми уровня;

• основания призмы (или одно из оснований) лежат в плоскости уровня, т.е. имеют на чертеже натуральную величину.

Суть способа в том, что «разрезав» поверхность призмы по одному из ее ребер, вращением призмы (раскаткой) вокруг этого ребра ближайшая грань призмы совмещается с плоскостью развертки (за плоскость развертки принимается плоскость проекций, которой параллельны ребра призмы). Затем последовательным вращением призмы вокруг следующих ребер с плоскостью развертки совмещаются все прочие грани призмы, т.е. выполняется полная раскатка ее боковой поверхности.

На рис. 4.109 показан пример построения развертки способом раскатки, так как на чертеже ребра призмы являются фронтальными прямыми, а оба основания лежат в горизонтальных плоскостях уровня и на горизонтальной проекции призмы имеют натуральную величину. За плоскость развертки принята фронтальная плоскость проекций, так как ребра призмы фронтальные прямые.

Построение развертки способом раскатки выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. «Разрезать» поверхность призмы по очерковому ребру и повернуть вокруг этого ребра грань призмы до совмещения с плоскостью развертки, построив ребро ; чтобы построить на развертке это ребро, нужно провести из вершин оснований и перпендикуляры к ребру и на пересечении этих перпендикуляров с дугой-засечкой, равной стороне основания построить точки и , определяющие положение ребра на развертке (ребро параллельно ребру ).

2-е действие. Повторись последовательное вращение каждой грани вокруг следующее ребра и совместить каждую грань с плоскостью развертки, построив конечные точки каждого ребра с помощью дуг-засечек, равных следующим сторонам основания и .

3-е действие. Соединить построенные конечные точки ребер отрезками прямых и достроить плоскую фигуру развертки (достроено также одно основание призмы).

4-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив гонкими

штрихпункт ирными линиями с двумя короткими пунктирами линии сгиба по ребрам.

На этом же рисунке показано построение па развертке точки , лежащей на грани призмы.

Развертка поверхности пирамиды

Построение развертки боковой поверхности пирамиды по натуральным величинам се ребер выполняется по следующему графическому алгоритму:

J-с действие. Построить на заданных проекциях пирамиды натуральные величины всех ее боковых ребер (например, способом вращения вокруг проецирующей прямой) и натуральные величины сторон многоугольника основания пирамиды (если основание лежит в плоскости уровня, то натуральные величины даны на одной из проекций).

2-е действие. Построить на свободном поле чертежа последовательно грани пирамиды по натуральным величинам ребер и натуральным величинам сторон основания (с помощью дуг-засечек) гак. чтобы они имели общую вершину и примыкали друг к другу.

3-е действие. Оформить чертеж разверти выполнив линии сгиба по ребрам пирамиды тонкими илрихиуиктирными линиями.

На рис. -1.110 показан пример построения развертки поверхности правильной треугольной пирамиды, основание которой треугольник , на горизонтальной проекции имеет натуральные величины сторон, так как лежит в горизонтальной плоскости уровня.

Для построения разверни выполнены графические действия предложенною алгоритма.

1-е действие. Построить на заданной фронтальной проекции натуральные величины ребер пирамиды способом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси . проходящей через вершину пирамиды, точку , и совпадающей с ее высотой. Напоминаем графические действия этого способа преобразования:

Повернуть горизонтальные проекции ребер и вокруг оси так, чтобы они расположились параллельно фронтальной плоскости проекций (все ребра правильной пирамиды равны по длине), и получить совмещенные проекции точек .

1. Па фронтальной проекции пирамиды конечные точки и ребер перемещаются по горизонтальной линии, перпендикулярной оси , и на пересечении с линией связи от точек построить точки
2. Соединить вершину пирамиды с совпадающими точками -полученный отрезок и есть натуральная величина всех ребер пирамиды.

2-е действие. На свободном ноле чертежа построил» последовательно (например, против часовой стрелки) от ребра . по которому «разрезается» поверхность, треугольники граней пирамиды с обшей вершиной следующим образом:

1. Провести дугу радиусом , равным натуральной величине ребер пирамиды из произвольной точки плоскости чертежа

1. На дуге отмстить (произвольно) вершину основания, точку , т.е. построить ребро пирамиды.
2. На проведенной дуге засечками, равными длине сторон основания пирамиды отметить следующие точки вершин основания — — и точку .
3. Построить треугольники граней пирамиды, соединив вершину с вершинами основания, и достроить основание пирамиды к стороне, например, грани

3-е действие. Оформить чертеж развертки, выполнив гонкими штрихпунктирными линиями с двумя короткими пунктирами линии сгиба по ребрам пирамиды.

Геодезическая линия

Геодезическая линия — это линия кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности. На развертке этой линии соответствует прямая. Геодезическая линия строится на развертке по двум ее конечным точкам, заданным на проекциях предмета, а затем достраивается на заданных проекциях по дополнительным промежуточным точкам, взятым на построенной развертке.

На рис. 4.110 показано построение проекций геодезической линии на поверхности пирамиды но двум заданным на проекциях конечным точкам и .

11орядок графических действий для построения геодезической линии:

1-е действие. Построить полную развертку поверхности (в данном примере развертка пирамиды уже построена).

2-е действие. 11остроить на развертке геодезическую линию.

Построить на развертке заданные точки и .

• точка определяется на развертке на пересечении вспомогательной линии , проведенной параллельно стороне основания на расстоянии , равном отрезку , взятому на построенной натуральной величине ребер и отложенному по ребру развёртки, и линии, проведенной через точку и точку 1, построенную на стороне развертки по отрезку , взятому на горизонтальной проекции стороны основания;

• точка определяется на пересечении аналогично построенных линий и .

• Соединить построенные на развертке точки геодезической линией , которая пересекает ребро в точке .

3-е действие. Достроить фронтальную и горизонтальную проекции геодезической линии на проекциях пирамиды по промежуточной точке с учетом видимости линии на поверхности (на проекциях пирамиды проекции геодезической линии — ломаные линии):

Отрезок , взятый на развертке (отмечен скобкой), отложить на натуральной величине ребер, построенных на фронтальной проекции, и определить положение точки .

1. Провести через точку линию, параллельную основанию пирамиды, и на пересечении с проекцией ребра построить фронтальную проекцию точки геодезической линии.
2. Достроить горизонтальную проекцию точки по вспомогательной точке , лежащей на ребре .
3. На проекциях пирамиды соединить заданные проекции точек и с построенной точкой , определив видимость участков ломаной геодезической линии.

На рис. 4.111 показан пример построения развертки неправильной треугольной пирамиды и геодезической линии на развертке и на проекциях пирамиды но заданным конечным точкам и . Основание пирамиды лежит в горизонтальной плоскости, и на горизонтальной проекции пирамиды стороны основания имеют натуральную величину.

Построение развертки поверхности пирамиды выполнено по приведенному выше алгоритму с дополнительными графическими действиями по построению геодезической линии:

1-е действие. На фронтальной проекции пирамиды способом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси , проходящей через вершину пирамиды , построить натуральные величины всех ребер пирамиды и вспомогательной линий . проведенной на грани пирамиды через заданную точку , и определить проекцию точки на натуральной величине вспомогательной линии : вспомогательная линия , проведенная через точку , является фронтальной , и проекция есть ее натуральная величина, которую можно использовать для построения точки на развертке.

2-е действие. Построить на свободном поле чертежа последовательно от ребра по часовой стрелке треугольники граней пирамиды с общей вершиной по натуральным величинам ее ребер и сторон основания дугами-засечками соответствующей величины и достроить основание пирамиды к стороне .

3-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя линии сгиба.

4-е действие. Построить геодезическую линию на развертке и заданных проекциях пирамиды.

1. Построить на развертке конечные точки и на вспомогательных линиях и но натуральным величинам отрезков и и соединить эти точки прямой геодезической линией , которая пересекает ребро в точке .
2. Достроить фронтальную и горизонтальную проекции ломаной геодезической линии на проекциях пирамиды с учетом ее видимости, определив проекции точки на ребре по ее положению на развертке (по отрезку ).

Развертка цилиндрической и конической поверхностей

Развертки цилиндрических и конических поверхностей выполняются аналогично разверткам призматических и пирамидальных поверхностей При этом цилиндрическая поверхность заменяется (аппроксимируется) вписанной многоугольной призматической поверхностью (обычно 12-угольной), а коническая поверхность заменяется вписанной многоугольной пирамидальной поверхно-стью, т.е. строятся приближенные развертки.

Развертки прямого кругового цилиндра

Развертку поверхности прямого кругового цилиндра можно выполнять следующими способами:

• способом нормального сечения на свободном ноле чертежа, если образую-щие являются прямыми уровня, а основания не перпендикулярны образующим;
• способом раскатки при тех же условиях (развертка является при этом продолжением проекции).

Развертка эллиптического цилиндра (нормальное сечение — эллипс) выполняется способом раскатки, если образующие являются прямыми уровня и на проекциях есть круговое основание (не рассматривается).

Графические алгоритмы для построения разверток поверхности цилиндра этими способами аналогичны вышеприведенным графическим алгоритмам для построения разверток призмы такими же способами.

На рис. 4.112 показан пример построения развертки боковой поверхности прямого кругового цилиндра, наклоненного относительно горизонтальной плоскости проекций и срезанного по одному торцу профильной плоскостью.

Поскольку по условию задачи образующие являются фронтальными прямыми уровня, а нормальным сечением кругового цилиндра является окружность. то здесь для построения развертки можно объединить и способы построения и графические действия алгоритмов.

Развертка выполняется по предлагаемому графическому алгоритму.

1-е действие. Провести на фронтальной проекции цилиндра фронтально-проецирующую плоскость нормального сечения перпендикулярно фронтальным проекциям образующих (в произвольном месте по длине образующих) и построить окружность нормального сечения, повернув плоскость этой окружности вокруг линии сечения.

Окружность нормального сечения разделить на двенадцать частей и точки деления пронумеровать от точки на очерковой образующей т.е. цилиндр заменить (аппроксимировать) двенадцатиугольной вписанной призмой; из точек деления окружности сечения провести на фронтальной проекции образующие до их пересечения с проекциями оснований.

2-е действие. На продолжении линии нормального сечения отметить двенадцать отрезков — сторон двенадцатиугольника (хорды окружности), которым заменяется окружность сечения, и провести направления ребер (образующих), перпендикулярно линии сечения (линии пронумеровать), то есть выполнить от ребра Поспеловательную раскатку граней призмы, заменившей цилиндр.

3-е действие. Построить конечные точки каждой образующей (ребра) на пересечении образующих с линиями, проведенными перпендикулярно образующим из одноименных точек нижнего основания.

4-е действие. Оформить чертеж развертки боковой поверхности цилиндра, соединив построенные конечные точки образующих плавными кривыми линиями (в примере развертка оборвана из-за недостатка места).

Для построения более точной развертки следует по формуле (I) (см рис. 4 112) вычислить длину развертки и, разделив эту длину на 12 равных частей, провести образующие и далее выполнить 3-е и 4-е действия алгоритма.

Развертка прямого кругового конуса

На рис. 4.113 показан пример построения развертки боковой поверхности прямого кругового конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью , которая пересекает его поверхность по эллипсу.

Построение развертки боковой поверхности конуса выполняется по вышеприведенному алгоритму, для построения развертки пирамиды с некоторыми дополнениями.

Развертка выполняется по предлагаемому алгоритму:

1-е действие. Заменить прямой круговой конус вписанной правильной 12-угольной пирамидой с ребрами-образующими.

2-е действие. Построить развертку боковой поверхности пирамиды по натуральным величинам ребер (образующих) и сторон основания, выполнив следующие графические действия:

1. Отметить на свободном поле чертежа точку и провести дугу радиусом равным натуральной величине всех образующих конуса (ребер пирамиды).
2. Отметить на дуге точку на вертикальной линии симметрии развертки и построить вправо и влево на дуге засечками, равными сторонам-хордам 12-угольника, точки, соответствующие вершинам этого многоугольника;

пронумеровать эти точки и соединить их с вершиной развертки, построив таким образом вспомогательные ребра-образующие (грани пирамиды)

3-е действие. Достроить на развертке линию среза конуса фронтально-проецирующей плоскостью , выполнив следующие графические действия:

1. На фронтальной проекции конуса перенести горизонтально на натуральную величину образующей точки сечения, отмеченные на вспомогательных образующих, т.е. вращением вокруг оси построить натуральные величины отрезков образующих-ребер сечения.
2. Отложить на соответствующих образующих развертки натуральные величины отрезков образующих-ребер до точек сечения (отмечены на фронтальной проекции и на развертке фигурными скобками отрезки образующей для точки и образующей для точки ) и соединить построенные точки сечения на развертке плавной кривой линией.

4-е действие. Оформить чертеж развертки, проведя сплошными толстыми линиями контур построенной развертки.

Для построения более точной развертки следует вычислить но формуле (2) (см. рис. 4.113) угол развертки и разделить дугу развертки на 12 равных частей, провести образующие и далее выполнить 3-е и 4-е действии алгоритма.

Образец выполнения листа 10 с задачей 17 показан на рис. 4 114.

Построение развертки поверхности пирамиды, включая основание и плоскости сечений

Построить развертку поверхности пирамиды, включая основание и плоскости сечений.

Задачу 17 выполнять на формате A3 белой чертежной бумаги по образцу.

Графическое условие задачи 17 — пирамида (задача 8 из табл. 4.5).

На поле чертежа слева выполнить фронтальную и горизонтальную проекции правильной треугольной пирамиды по заданному графическому условию.

План графических действий решения задачи соответствует ipa-фичееким действиям предложенного алгоритма для развертки пирамиды.

1-е действие. Построить на проекциях пирамиды натуральные величины ребер, плоскостей среза и паза:

1. Натуральные величины всех ребер определяет фронтальная проекция ребра .
2. Построить натуральные величины плоскостей среза и сквозного паза способом вращения вокруг проецирующих осей:

плоскость среза повернуть вокруг фронтально-проецирующей оси совпадающей с вырожденной в точку линией пересечения 2-2 плоскости с гранью ;

• плоскость паза повернуть вокруг фронтально-проецирующей оси , совпадающей с вырожденной в точку линией пересечения плоскости с основанием пирамиды;
• плоскость повернуть вокруг горизонтально-проецирующей оси , проходящей через точку на стороне основания пирамиды.

2-е действие. На поле чертежа справа построить полную развертку поверхности пирамиды, «разрезав» поверхность пирамиды по ребру

1. Построить треугольники боковых граней пирамиды, отметив на луге засечками величины сторон основания, и соединить вершины основания и с вершиной (грани развернуты по часовой стрелке).
2. Достроить на развертке боковой поверхности линии среза и паза, полученные на гранях пирамиды:

• ломаные линии 3-4-5-6, по которым плоскости паза пересекают две грани и , по натуральным величинам отрезков этих линий, использовав параллельность отрезков:

прямые 1-2, 2-2 и 2-1, по которым плоскость среза пересекает все три грани, по натуральным величинам отрезков ребер и .

1. К развертке боковой поверхности пирамиды достроить плоскости среза, паза и участки основания:

• к стороне основания — натуральные величины двух частей основания и плоскостей паза по порядку их развертки — участок основания . плоскость . плоскость , плоскость , участок основания ;
• к линии 1-2 среза грани (например, грани ) натуральную величину плоскости — треугольник 1-2-1.

3-е действие. Оформить чертеж полной развертки поверхности пирамиды, выполнив внутри контура развертки все линии сгиба тонкими штрихпунктирными линиями с двумя пунктирами.

Прямоугольные проекции предмета на взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Прямоугольные проекции предмета на взаимно перпендикулярные плоскости проекций по методу I . Монжа позволяют точно передать на чертеже форму предмета и его размеры, они просты в построении, но не обладают нагляд-ностью. Создание в уме по комплексному чертежу пространственного образа изображенного предмета требует навыков аналитического мышления и наличия пространственного воображения, т.е. достаточно развитого пространственного мышления.

Для наглядного изображения предмета существуют проекции, которые называют аксонометрическими , или аксонометриями (в переводе с древнегреческого — осеизмерение).

АКСОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — это параллельная проекция предмета вместе с системой ирямоуюльных координат, к которым этот предмет отнесен в пространстве, на некоторую плоскость аксонометрических проекций.

Чтобы обеспечить наглядность предмета по одному изображению на одной аксонометрической плоскости, направление проецирования (направление проецирующих лучей) не должно быть параллельным координатным плоскостям проекций и , относительно которых выполняются проекции предмета на чертеже.

Систему прямоугольных координат , к которой предмет относят в пространстве для построения его аксонометрии, выбирают обычно так, чтобы оси и этой системы совпадали с натуральной системой координатных осей чертежа.

Аксонометрические проекции, как проекции параллельные, имеют некоторые их свойства

• аксонометрическая проекция отрезка прямой также является прямой;
• если отрезки прямых параллельны на предмете, они также параллельны на его аксонометрической проекции.

Аксонометрической проекцией окружности на аксонометрии в общем случае является эллипс.

На рис. 4.115 показана схема проецирования точки , построенной на чертеже в системе натуральных прямоугольных координат и отнесенной к этим же координатам на некоторую плоскость аксонометрических проекций по направлению проецирования

Положение точки определяется в этой системе пространственной координатной ломаной , отрезки которой соответствуют координатам и точки . На взятой произвольно плоскости аксонометрических проекций а получены три прямые и , выходящие из одной точки , которые называются АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ОСЯМИ и являются проекциями пространственных координатных осей и , к которым отнесена точка . Полученные углы между аксонометрическими осями зависят от положения аксонометрической

плоскости и угла проецирования к этой плоскости. На аксонометрии положение точки определяет плоская координатная ломаная , отрезки которой соответствуют аксонометрическим координатам , и аксонометрической проекции точки

Поскольку направление проецирования не параллельно ни одной из осей системы прямоугольных пространственных координат, то истинные размеры отрезков пространственной координатной ломаной на аксонометрической проекции искажаются и, следовательно, искажаются размеры любого предмета на его аксонометрическом изображении

Для определения степени искажения размеров предмета на аксонометрических проекциях введено понятие коэффициентов
искажения по аксонометрическим осям

Если на осях и системы натуральных прямоугольных координат отложить от точки равные масштабные отрезки , то в системе аксонометрических координатных осей получаются искаженные проекции этих отрезков и .

ОТНОШЕНИЯ аксонометрических проекций масштабных отрезков к натуральным величинам масштабных отрезков и называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям:

Расчетные коэффициенты искажения имеют дробные значения, неудобные для выполнения аксонометрических построений (0,82; 0,47 и т.д.).

Для построения на чертежах аксонометрических проекций пользуются так называемыми ПРИВЕДЕННЫМИ коэффициентами искажения, округленными до 1 или 0,5.

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции разделяются:

а) на изометрические, у которых все коэффициенты искажения равны, т.е. ( — равный);

б) диметрические , у которых два коэффициента равны, т.е. , а им не равен (di — двойной);

в) три метрические, у которых все коэффициенты разные, т.е. (treis — три).

В зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости аксонометрий (угла проецирования) аксонометрические проекции разделяются

а) на прямоугольные — проецирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости проекций (угол проецирования равен 90°);

б) косоугольные — проецирующие лучи не перпендикулярны аксонометрической плоскости проекций (угол проецирования не равен 90°).

Аксонометрических проекций можно получить бесконечное множество, как может быть бесконечно количество аксонометрических плоскостей проекций и направлений проецирования к ним.

Основная теорема аксонометрических проекций была сформулирована немецким геометром К. Польке: «Любые три отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельные проекции (то есть аксонометрические проекции) трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков (аксонометрических осей) в пространстве».

Г. Шварц, немецкий математик, обобщил теорему К. Польке, доказав, что «любой полный четырехугольник на плоскости всегда является параллельной проекцией некоторого масштабного тетраэдра (пирамиды), имеющего равные и взаимно перпендикулярные ребра» (диагонали четырехугольника можно рассматривать как аксонометрические оси). Эту обобщенную теорему и называют теоремой К. Польке-Г. Шварца.

Стандартные аксонометрии. ГОСТ 2.317-69 «Аксонометрические проекции».

Математические (тригонометрические) расчеты величин коэффициентов искажения, углов между аксонометрическими осями, расположение и размеры больших и малых осей эллипсов здесь не рассматриваются [5-7].

В стандарте даны пять видов аксонометрических проекций:

1. Прямоугольная изометрия.
2. Прямоугольная диметрия.
3. Косоугольная фронтальная диметрия.
4. Косоугольная фронтальная изометрия.
5. Косоугольная горизонтальная изометрия.

В курсе начертательной геометрии рассматриваются первых три вида аксонометрических проекций.

Окружности на проекциях предметов проецируются на аксонометрическое изображение предмета в виде эллипсов. Различные графические способы построения четырехцентровых овалов, которыми заменяют эллипсы, окружности которых лежат в плоскостях, параллельных плоскостям проекций и , рассматриваются в учебниках но черчению и инженерной графике. Эллипсы, окружности которых лежат в плоскостях, непараллельных плоскостям проекций, строятся на аксонометриях в основном по точкам, принадлежащих этим окружностям.

Прямоугольная изометрия

Для прямоугольных аксонометрий получена расчетная формула по коэффициентам искажения:

т е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна двум [5-7]

В прямоугольной изометрии коэффициенты искажения равны, и по формуле (1) получается, что . Для построения прямоугольной изометрии пользуются приведенными коэффициентами искажения, округленными до единицы, то есть .

Аксонометрическая плоскость прямоугольной изометрии равнонаклонена ко всем трем плоскостям проекций и и пересекает эти плоскости проекций по равностороннему треугольнику, который называют треугольником следов. Следовательно, аксонометрические оси прямоугольной изометрии являются высотами, биссектрисами и медианами этого треугольника, а точка их пересечения является точкой начала аксонометрических координат. Как известно из геометрии, углы между высотами равностороннего треугольника равны 120°, следовательно, и углы между аксонометрическими осями также равны 120°

На рис. 4.116 показано расположение аксонометрических осей в прямоугольной изометрии (ось всегда располагается вертикально), размеры и расположение больших и малых осей эллипсов и их построение одним из известных способов.

Большие оси всех трех эллипсов равны ; где — диаметр окружности, а малые оси эллипсов равны .

Ориентация больших и малых осей эллипсов относительно аксонометрических осей:

• эллипс 1 — аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций : большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси , а малая ось совпадает с осью ;

• эллине 2 — аксонометрическая проекция окружность, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций : большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси , а малая ось совпадает с осью ;

• эллипс 3 — аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций : большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси , а малая ось совпадает с осью .

Па рис. 4 116 покачан один из способов построения четырехцентровых овалов, которыми на чертежах заменяют эллипсы в прямоугольной изометрии.

Графические действия для построения овалов следующие:

• провести две концентрические окружности, диаметры которых равны размерам большой и малой оси эллипса с центром в точке ;
• из двух центров в точках 1, лежащих на окружности большой оси, провести две большие дуги радиусами и :
• из точек 1 провести прямые через точки 2, лежащие на окружности малой оси;

• на пересечении проведенных дуги прямых п получить точки 3. которые определяют окончание больших дуг;

из двух центров в точках 2 провести две малые дуги радиусами и до точек 3

Прямоугольная диметрия

В прямоугольной диметрии коэффициенты искажения по аксонометрическим осям и равны между собой, а коэффициент искажения по оси у принят равным их половине. Отсюда по приведенной формуле I получены следующие величины коэффициентов искажения по аксонометрическим осям: , а . Для построения прямоугольной диметрии пользуются приведенными коэффициентами искажения, округленными и равными: , а .

Аксонометрические оси по математическим расчетам располагаются относительно горизонтальной линии следующим образом: ось расположена вертикально, ось под углом , ось у под углом .

На рис 4 117 покатана расположение аксонометрических осей и способ графического построения углов между осями, размеры и расположение больших и малых осей эллипсов и способы построения четырехцентровых овалов, заменяющих эллипсы на чертеже.

1. Графический способ построения аксонометрических осей на чертеже:

• провести горизонтальную линию и вертикальную ось и отметить на их пересечении точку начала координат,
• отложить на горизонтальной линии от точки влево (или вправо) 8 размерных единиц (8 раз по 10 мм) и провести вертикальную линию;
• от конечной точки отложить вниз 1 размерную единицу, а вверх 7 размерных единиц;

• через конечные точки вертикальных отрезков и точку провести аксонометрические оси и .

Большие оси всех трех эллипсов равны , а величины малых осей эллипсов следующие:

• малая ось эллипса 1 равна ;
• малые оси эллипсов 2 и 3 равны .

Ориентация больших и малых осей эллипсов относительно аксонометрических осей:

• эллипс 1 аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций : большая ось эллипса перпендикулярна оси , а малая ось эллипса совпадает с осью ;

• эллипс 2 — проекция окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости проекций : большая ось эллипса перпендикулярна оси , а малая ось совпадает с осью :
• эллипс 3 — проекция окружности, лежащей в плоскости, параллель-ной плоскости проекций : большая ось эллипса перпендикулярна оси , а малая ось совпадает с осью .

1. Графические действия для построения овала 1 с центром в точке : отложить на прямой, перпендикулярной оси , отрезок , равный размеру большой оси эллипса :

• отложить на оси отрезок . равный размеру малой оси эллипса ;
• из точки провести окружность , которая пересечет малую ось эллипса в точках 1 и , а большую ось — в точках 2 и ;
• из полученных точек 1 и провести дуги радиусами от точки 1 до точки и от точки до точки : из точек 2 и провести дуги радиусами от точки до точки и от точки 2 до точки ;

• дуги проводить до точек сопряжения 3 (построение показано).

1. Графические действия для построения овала 2 с центром в точке : отложить на горизонтальной прямой, перпендикулярной оси , отрезок , равный размеру большой оси эллипса :
2. отложить на продолжении оси отрезок , равный размеру малой оси :
3. построить точки 1, отложив от точки вверх и вниз по оси отрезки , равные большой оси эллипса ;
4. построить точки 2 на большой оси, отложив от точек и отрезки и , равные 1/4 малой оси эллипса ;
5. из полученных точек 1 провести две большие дуги радиусом . а из точек 2- две малые дуги радиусом
6. дуги проводить до точек сопряжения 3 (построение показано).

Построение овала 3 выполняется аналогично (большая ось ).

Косоугольная (фронтальная) диметрия

В качестве аксонометрической плоскости проекций здесь взята плоскость, параллельная плоскости проекций Поэтому на аксонометрии сохраняется угол 90° между аксонометрическими осями и , а ось располагают под углом 45° к горизонтальной прямой.

Приведенные коэффициенты искажения по аксонометрическим осям:

по осям и : по оси : .

На рис. 4.118 показано расположение аксонометрических осей в косоугольной диметрии, размеры и расположение больших и малых осей эллипсов и графический способ построения овалов.

Окружности на проекциях предмета, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости проекций , проецируются на аксонометрическое изображение в виде окружностей, т.е. не искажаются, так как параллельны плоскости аксонометрических проекций.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций и . проецируются на аксонометрическое изображение в виде эллипсов, большие оси которых равны , а малые оси равны .

Расположение больших и малых осей эллипсов относительно аксонометрических осей:

• эллипс 2 — большая ось расположена под углом к горизонтальной линии и наклонена в сторону аксонометрической оси ; малая ось перпендикулярна большой оси эллипса;

эллипс 3 большая ось расположена под углом к вертикальной линии и наклонена в сторону аксонометрической оси у, малая ось перпендикулярна большой оси эллипса.

Графическое построение двух одинаковых овалов 2 и 3, заменяющих эллипсы на чертежах, аналогичны построениям овалов для прямоугольной диметрии.

Примеры построения аксонометрических проекции

На рис. 4 119 показан пример построения аксонометрической проекции правильной треугольной пирамиды со срезом фронтально-проецирующей плоскостью в прямоугольной диметрии

Построение аксонометрии пирамиды выполняется по предлагаемому графическому алгоритму

1-е действие. Отнести пирамиду к системе прямоугольных координат и , оси которой параллельны осям натуральной системы координат, но проходят через высоту пирамиды (ось ) и ее основание (оси и ).

2-е действие. Определить в принятой системе координат на проекциях пирамиды координаты и отмеченных точек 1, 2, 3. лежащих на ребрах пирамиды, и точек — вершин основания пирамиды.

3-е действие. На свободном поле чертежа провести аксонометрические оси прямоугольной диметрии из произвольной точки : ось — вертикально, ось — под углом а ось — под углом к горизонтальной линии (использовать графический способ построения аксонометрических осей).

4-е действие. Построить тонкими линиями аксонометрическую проекцию пирамиды без среза.

1. Построить аксонометрическое изображение основания пирамиды по координатным ломаным этих точек (основание лежит в системе осей и называется вторичной проекцией):

• точка : координатная ломаная

• точка : координатная ломаная
• точка

!!! Координатные отрезки параллельны соответствующим аксонометрическим осям.

1. Построить по координате на аксонометрической оси проекцию вершины пирамиды и соединить вершину с точками основания ребрами, то есть построить аксонометрию пирамиды.

5-е действие. Достроить срез на аксонометрии пирамиды, построив на ребрах пирамиды по координатам и аксонометрические проекции отмеченных точек 1, 2 и 3 по соответствующим плоским координатным ломаным:

• точка 1 на ребре : координатная ломаная ;
• точка 2 на ребре ;
• точка 3 на ребре .

6-е действие. Оформить аксонометрию пирамиды, выполнив толстыми линиями ее видимый контур (оставить тонкими линиями полную проекцию пирамиды, невидимые линии и линии построения).

Па рис. 4 120 показан пример построения аксонометрической проекции конуса со срезами двумя фронтально-проецирующими плоскостями (в сечении плоскостью — треугольник со сторонами-образующими, в сечении плоскостью -эллипс) в прямоугольной изометрии.

Графические действия для построения аксонометрии конуса соответствуют предложенному алгоритму для построения аксонометрии пирамиды:

1-е действие Отнести конус к такой же системе прямоугольных координат и (ось совпадет с высотой конуса, оси и проходят по основанию конуса).

2-е действие. Определить координаты и для точек 1 2, 3 и 4 на поверхности конуса для построения сечений на его аксонометрии.

3-е действие. Па свободном поле чертежа отмстить точку начала аксонометрических координат и провести оси прямоугольной изометрии под углами 120° с вертикальной осью .

4-е действие. Построить аксонометрическую проекцию конуса без срезов:

Построить эллипс основания конуса с центром в точке , большая ось которого перпендикулярна аксонометрической оси , так как окружность основания конуса лежит в горизонтальной плоскости (см. графическое построение овала 2 на рис. 4.116).

1. Построить вершину конуса, точку , на оси по ее координате и провести две касательные к эллипсу через вершину .

5-е действие. Достроить срезы на аксонометрии конуса, построив аксонометрические проекции отмеченных точек 1, 2. 3 и 4 по соответствующим плоским координатным ломаным:

• точка 1: координатная ломаная ;
• точки 2: координатная ломаная ;
• точки 3: координатная ломаная ;
• точки 4: координатная ломаная (лежат на образующих );

-соединить построенные точки соответствующими линиями (участок эллипс и треугольник).

6-е действие. Оформить чертеж аксонометрии конуса, выполнив толстыми линиями ее видимый контур (оставить тонкими линиями полный контур пирамиды, невидимые линии и линии построения).

Образцы выполнения листов 11 и 12 с задачами 18 и 19 даны на рис. 4.121 и 4.122.

Задача №18.

Построить аксонометрическую проекцию пирамиды в прямоугольной или косоугольной аксонометрии.

Графическое условие задачи 18 — пирамида задачи 8 (табл. 4.5, лист 4).

Задачу выполнить на формате A3 белой чертежной бумаги.

Задача №19.

Построить аксонометрическую проекцию цилиндра в прямоугольной изометрии.

Графическое условие задачи 19 — цилиндр задачи 9 (табл. 4.6, лиа 5).

Задачу выполнить на формате A3 белой чертежной бумаги.

Образец выполнения аксонометрической проекции пирамиды со срезом и сквозным пазом показан на рис. 4.121 (лист 11).

На поле чертежа слева выполнить две проекции заданной пирамиды, а справа ее аксонометрическое изображение в прямоугольной диметрии

Плоскости среза и плоскости паза пересекают поверхность пирамиды по ломаным линям.

Построение аксонометрии выполняется по предложенному графическому алгоритму.

1-е действие. Отнести пирамиду к системе прямоугольных координат и

2-е действие Определить в принятой системе координат на проекциях пирамиды координаты и отмеченных точек 1, 2, 4 и 5, лежащих на боковой поверхности пирамиды, и точек 3 и 6, лежащих на основании пирамиды.

3-е действие. Па свободном поле чертежа справа отметить точку начала аксонометрических координат и провести оси прямоугольной диметрии (использовать графический способ построения).

4-е действие. Построить тонкими линиями полную аксонометрию пирамиды без среза и паза:

1. Построить аксонометрическое изображение основания пирамиды и проекции точек 3 и 6, лежащих на основании пирамиды, по координатным ломаным этих точек.
2. Построить на аксонометрической оси вершину пирамиды точку по координате и соединить вершину с вершинами основания.

5-е действие. Достроить срез и паз на аксонометрии пирамиды, построив аксонометрические проекции отмеченных точек 1, 2. 4 и 5 по соответствующим координатным ломаным (отрезки 4-3 параллельны ребру ).

6-е действие. Оформить аксонометрию пирамиды, выполнив толстыми сплошными основными линиями ее видимый контур (тонкими линиями оставить полную проекцию пирамиды, невидимый контур и линии построения).

Образец выполнения аксонометрической проекции цилиндра с пазом и срезом показан на рис. 4.122 (лист 12).

На поле чертежа слева выполнить две проекции цилиндра со сквозным пазом и срезом, а справа — его аксонометрическое изображение в прямоугольной изометрии.

Профильные плоскости паза пересекают поверхность цилиндра по образующим, фронталыю-проецируюшая плоскость паза — по участкам эллипса, горизонтальная плоскость нижнего среза — по окружности.

Графический алгоритм для построения аксонометрии цилиндра аналогичен предыдущему.

1-е действие. Отнести цилиндр к системе прямоугольных координат и (ось совпадает с осью вращения цилиндра, оси и проходят по нижнему основанию)

2-е действие. Определить в принятой системе координат на проекциях цилиндра координаты отмеченных точек 1-9.

3-е действие. На свободном поле чертежа справа отметить точку начата аксонометрических координат и провести аксонометрические оси прямоугольной изометрии.

4-е действие. Построить гонкими линиями полную аксонометрию цилиндра без паза и среза:

1. В точке нижнего основания и в точке верхнего основания, лежащей на оси на высоте цилиндра , построить два эллипса, большие оси которых перпендикулярны оси (построение овала см. на рис. 4.116).
2. Провести две образующие цилиндра через конечные точки больших осей эллипсов.

5-е действие. Достроить паз и срез на аксонометрии, построив аксонометрические проекции отмеченных точек.

1. Построить паз по координатным ломаным точек 1, 2,3, 4 и 5.
2. Достроить с центром в точке , эллипс в горизонтальной плоскости нижнего среза и определить положение точек 6, 7 и 8. лежащих на этом эллипсе, и положение точек 9. лежащих на нижнем основании цилиндра.

6-е действие. Оформить аксонометрию цилиндра, выполнив толстыми линиями ее видимый контур (оставить тонкими линиями полную проекцию цилиндра, невидимый контур и линии построения).